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数学分析是近代分析数学的基础，现行的理论源于近代 Cauchy, Riemann, Weierstrass 等人建立的极限论、积分和级数理论基础，该学科主要研究实变量函数（尤其是连续实函数）的微分积分性质，以及函数项级数的性质，多元函数主要关注各种物理中常用的微分定理和积分公式。后继课程有实分析以及复分析等等。

学科编码：11034，隶属于数学分析

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实数理论、数列、极限、导数和微分、不定积分和定积分、反常积分、数项级数和函数项级数（一致收敛）、偏导数、多元积分

实

变函数论 real analysis

\lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d}x

实变函数论又称实分析，该学科主要研究 Lebesgue 等人为弥补 Riemann 积分的不而建立的积分理论，关注的函数是一种比连续函数性质稍差的称之为可测函数的函数，主要研究极限和其它运算（特别是积分）交换次序的相关问题，著名结果包括 Fatou 引理和控制收敛定理等。先修课程为数学分析。

学科编码：1104110，隶属于函数论

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Lebesgue 测度、可测函数、Лузин 定理、Lebesgue 积分、Levi 积分定理、Fatou 引理、控制收敛定理、Fubini 定理、有界变差函数、Lebesgue 微分定理、绝对连续函数、Lp 空间

单

复变函数论 complex analysis

\int_C \dfrac{\mathrm{d}z}{(z - a)^n}

单复变函数论主要研究自变量为单个复数的函数的性质，因其关注的函数多是性质较好的解析函数，故该学科又称解析函数论，该学科的立足点可以从解析函数的微分理论、积分理论以及级数理论三方面进行，解析函数的微分理论引出所谓 Cauchy-Riemann 方程，而积分更像是二元复值实函数的第二类曲线积分，有著名的 Cauchy 积分公式，级数理论主要由 Weierstrass 建立，有著名的 Laurent 展开，此外对于复变函数的研究还有几何性质方面，由 Riemann 建立。先修课程为数学分析，后继课程有多复变函数论等。

学科编码：1104120，隶属于函数论

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复平面、复变函数、复变函数的积分、复数项级数、解析函数的泰勒展式、解析函数的洛朗展式、留数、解析开拓

函

数逼近论 function approximation theory

p(x) = \sum_{i=1}^n y_i l_i(x_i)

函数逼近论主要研究函数的级数展开、渐近展开和数值计算，主要结果有插值问题（特别是多项式插值用于拟合函数或进行数值计算）、数值积分（著名结果有 Newton-Cotes 公式和 Romberg 算法）、函数逼近（最佳一致逼近和最佳平方逼近问题）和渐近展开理论。先修课程为数学分析。

学科编码：1104140，隶属于函数论

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Lagrange 插值、Newton 插值、最佳一致逼近、最佳平方逼近、正交多项式、数值积分、Newton-Cotes 求积公式、Romberg 算法

特

殊函数论 special function theory

\text{Si}(x) = \int_0^x \dfrac{\sin t}{t} \mathrm{d}t

特殊函数论主要研究在数学和物理中应用广泛的各种特殊函数（大部分是超越函数），这些函数有的借助级数定义，有的是某些特定问题的抽象化（如正弦积分函数等），有的是高阶（特别是二阶）常微分方程的解（这类函数众多），特殊函数论的众多公式经过众多数学物理学家的研究得到。系统学习特殊函数论的先修课程为数学分析，复变函数以及常微分方程等。

学科编码：1104170，隶属于函数论

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Bernoulli 多项式、Bessel 函数、超几何函数、Chebyshev 多项式、Legendre 多项式

常

微分方程 ordinary differential equation

M \mathrm{d}x + N \mathrm{d}y = 0

常微分方程简称 ODE, 含有未知的一元函数和未知函数各阶导数的方程称为常微分方程，对常微分方程的研究主要有定量研究（直接求解，这类方程十分稀少）、定性研究（主要研究方程的奇点和稳定性问题）以及数值方法（用数值方法求出特定初值问题对应的解）。

学科编码：11044，隶属于常微分方程

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一阶常微分方程、线性常微分方程、高阶常微分方程、常微分方程组

偏

微分方程 partial differential equation

u_{t}=\Delta u+f(u)

偏微分方程简称 PDE, 含有未知的多元函数和未知函数各阶偏导数的方程称为偏微分方程，因其背景很多方程都源于物理学，故又称数学物理方程。二阶偏微分方程理论主要研究椭圆的、双曲的以及抛物的偏微分方程，尤其是解的正则性问题。

学科编码：11047，隶属于偏微分方程

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Laplace 方程、Poisson 方程、热方程、波方程、二阶椭圆型方程、Schrödinger 方程

泛

函分析 functional analysis

f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }

泛函分析是从代数和拓扑结构的角度研究实变量的函数的学科，属于软分析（实变函数属于硬分析）。主要主题有线性算子理论、变分法、拓扑线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间、算子代数以及测度与积分理论等等。

学科编码：11057，隶属于泛函分析

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Banach 空间、Hilbert 空间、线性算子、紧算子、Hahn-Banach 定理、谱、共轭空间、弱拓扑、非线性映射、Banach 不动点定理、Leray-Schauder 度、半序 Banach 空间、变分

线

性代数 Linear Algebra

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ & 1 \end{pmatrix}^n

线性代数是研究由通常的二维或三维向量空间抽象出来的代数结构——有限维线性空间的学科，为此引入了矩阵、行列式和向量组的相关理论，在研究线性空间的变换性质（映射性质）的过程中又引入了特征子空间（与之关联的概念是特征值和特征向量）的理论。

学科编码：1102110，隶属于代数学

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矩阵代数、行列式、向量组、线性方程组、线性空间、内积、线性变换、特征值、二次型、Jordan 标准形

群

论 group theory

G/\ker \varphi \cong \text{im } \varphi

群论是研究一种基本的代数结构——群的学科，作为一门抽象化的数学学科，群论侧重于不同群结构之间的联系和群的分类以及存在性的讨论，前者有群同态的观点，后者引出了群分类问题。近年来对比群性质稍微差一些的代数结构——半群的研究十分热门，半群论也有成为一门新学科的趋势。

学科编码：1102115，隶属于代数学

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群、半群、群同态、交换群、循环群、群作用、正规子群、商群、置换群、导群、Sylow 定理、有限交换群

环

论 ring theory

\dfrac{\R[x]}{(x^2+1)} \cong \C

环论是研究比群结构较为丰富的一种代数结构——环的学科，对环的研究有像群那样的性质，但环论主要侧重于两种运算诱导的新性质，如环是否是有限生成的，是否是可因式分解的等等。

学科编码：1102140，隶属于代数学

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环、多项式环、环同态、理想、商环、除环、诺特环、Euclid 环、链条件

模

论 module theory

F^R(A) \cong \Z^{\oplus A}

模论是研究环作用在一个集合上形成的代数结构——模的学科，一个模的特例是线性空间，在模的研究中我们注重模的作用行为和生成行为，例如正合列和诺特模

学科编码：1102145，隶属于代数学

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模、诺特模、模的正合列、商模、扭模、生成子模

几

何学基础 basis of geometry

a^2+b^2=c^2

几何学基础是研究点、线之间基本数量和位置关系的几何学科，不必限于欧氏空间，位置关系以相交关系为主。与三角形和三角函数有关的三角学也归为此类。

学科编码：1102710，隶属于几何学

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点、直线、三角形、正方形、线段、勾股定理、圆

欧

氏几何学 Euclidean geometry

\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}

欧氏几何学在欧几里得公设下研究的几何学，是我们现实生活中的几何问题的抽象化，主要研究方法是向量法，这等价于笛卡尔给出的坐标法。

学科编码：1102715，隶属于几何学

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向量、仿射标架、直线、平面、线面度量性质、抛物线、椭圆、双曲线、平面直角坐标系、二次曲线、空间直角坐标系、二次曲面、渐近线、渐屈线、参数曲线

微

分几何学 differential geometry

\int _{D}K\mathrm {d} A+\int _{\partial D}k_{g}\mathrm {d} s+\sum \alpha _{i}=2\pi

微分几何学是用微积分方法研究建立在直角坐标系基础上的几何学，研究的对象是一类欧氏空间中连续甚至光滑的点集，被称为微分流形，其结果十分丰富且是当下研究的重要数学方向之一。

学科编码：1102745，隶属于几何学

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参数曲线、弧长参数、曲线论基本定理、曲率、Gauss 曲率、曲面的第一基本形式、测地线、测地曲率、Liouville 定理、测地平行坐标系、Gauss-Bonnet 公式

初

等数论 elementary number theory

x^n + y^n = z^n

初等数论是研究整数特别是自然数的个别性质的数学学科，它的入门门槛较低，不需要什么先修知识，是数论的基础学科。主要包括同余理论、剩余理论（特别是二次剩余用于解决二次同余问题）和一些不定方程，最著名的问题是 Fermat 方程（即费马大定理），但其解决方法并不初等。

学科编码：1101710，隶属于数论

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整除、同余、Euler-Fermat 定理、离散对数、原根、数论函数、不定方程、素数分布

点

集拓扑学 point set topology

{\text{Int}}(X\setminus A)=X\setminus {\overline {A}}

点集拓扑学是研究非空集合系上拥有“开集”结构的学科，是传统欧几里得空间按照实数系基本定理的抽象化，点集拓扑是拓扑学的基础，通过公理化的思想以及逻辑演绎来得到各种比欧几里得空间性质差的空间之间的关系。

学科编码：1103110，隶属于拓扑学

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拓扑空间、拓扑公理、可数公理、可分公理、分离公理、连通性质、紧性、连续映射、同胚、子拓扑、商拓扑、乘积拓扑

数

值代数 numerical algebra

PA = LU

数值代数是用数值计算的方法求解线性代数中的相关问题，如矩阵特征值、矩阵三角化、线性方程组求解、矩阵分解以及有限维空间中的最佳逼近问题等问题的学科，一般而言这里我们研究的矩阵都是大型矩阵且很有可能是稀疏的（例如通过递推公式给出的矩阵结构可能是三对角或五对角形式，这在用数值方法求解微分方程时常会出现），且不能是病态矩阵。

学科编码：1106150，隶属于计算数学

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LU 分解、幂法、反幂法、共轭梯度法、Gauss-Seidel 方法、投影方法、Arnoldi 算法、矩阵范数、Cholesky 分解

概

率分布 probability distribution