中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)又称孙子定理,是求解同余方程组的方法的定理。其源于《孙子算经》的“物不知其数”问题,故称。
内容[]
设
两两互素,则对任意整数
,同余方程组

在模

同余意义下有唯一解。
其证明是构造性的,我们不打算给出其证明,但基于证明思路我们给出求解方程组的方法:
解同余方程组[]
下面我们据此证明方法来解同余方程组,令
。设
满足
,我们可以找出符合题意的这样的一个
,最后,方程组的解就是
例如,对于同余方程组

首先,

两两互素,

所以,最后的解为
不互素的情况[]
当
不全两两互素时,我们需要将不互素的相应同余方程做拆解,找到它的一个同解方程组。例如

它等价于

可知,第二个方程含于第一个方程,第三、四个方程等价,于是解原方程就是解

用中国剩余定理,解出
实际上,对于一般的一元一次同余方程组

其有解的充要条件是

,在有解的情况下模
![{\displaystyle [m_{1},m_{2},\cdots ,m_{n}]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/a769ea5a040f37d69177df7f6728735fe6eb68f4)
的解数为

。
应用[]
上下节[]