严格凸空间

严格凸空间（strictly convex space）是一类具有严格凸范数的赋范线性空间，这类空间中的单位球面上没有“平直”的线。严格凸空间中的最佳逼近问题的解若存在则唯一，一致凸空间是一类特殊的严格凸空间。

定义

假设$X$是赋范线性空间，其上的范数记作$\| \cdot \|$，我们称范数$\| \cdots \|$是严格凸的，如果满足对任意的$x,y \in X$，严格的三角不等式 $$\| x + y \| < \| x \| + \| y \|.$$ 成立当且仅当$x, y$线性相关，这等价于对任意单位球面上不同的两点$x, y$都成立上述严格凸的三角不等式。

我们这时称$(X, \| \cdot \|)$是严格凸空间，严格凸性是范数的性质，一个空间上可能存在着两个等价的范数，其中一个是严格凸的但是另外一个不是，例如$\R^n$中的$\| \cdot \|_p$，当$1 < p < +\infty$时是严格凸的，但是$p = 1$或$p = +\infty$时不是严格凸的。

一致凸空间都是严格凸空间，但是反过来未必，参见这里（一个自反的严格凸但不一致凸的例子）。由 Milman-Pettis 定理，一致凸空间都是自反的，但是严格凸空间可以不是自反的，例如$l^1$线性空间装备上$\| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2$范数后是严格凸的非自反空间（$\| \cdot \|_2$是$l^2$空间上的范数，这里是合理的因为$l^1 \subset l^2$）。严格凸性是对范数纯粹的几何刻画，因此和拓扑性质是没有关系的，而一致凸性定义时使用了$\varepsilon\text{-}\delta$刻画，使得它可以刻画拓扑性质（自反性）。

最佳逼近

严格凸空间中最佳逼近问题若存在则唯一。

假设$\| \cdot \|$是赋范线性空间$X$上的严格凸范数，$M$是$X$的子空间，$x \in X$，那么

$$\inf_{y \in M} \| x - y \|$$ 如果可达，即存在$y_0 \in M$使得 $$\| x - y_0 \| = d := \inf_{y \in M} \| x - y \|,$$

则$y_0$必定唯一。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

如果$d = 0$，那么对选定的$x \in X$有$\| x - y \| = 0$即$y = x$，最佳逼近就是$x$本身，故唯一，下面假设$d>0$，如果有两个$y_0, y_1 \in M$使得

$$\| x - y_0 \| = \| x - y_1 \| = d.$$ 我们考察$y_0, y_1$连线上的点，对任意的$t \in (0, 1)$我们记 $$y_t = ty_1 + (1-t)y_0 \in M. \quad(1)$$ 于是 $$\dfrac{1}{d} \| x - y_t \| = \left\| t\dfrac{x-y_1}{d} + (1-t)\dfrac{x-y_0}{d} \right\| < \dfrac{1}{d} \big( t\| x-y_1 \|+(1-t)\| x-y_0 \| \big) = 1.$$ 于是 $$\| x - y_t \| < d.$$ 这就和$y_0, y_1$是最佳逼近矛盾。

这个结果不要求$M$有任何拓扑结构，因为我们只需要$(1)$式成立即可，甚至对其要求可以减弱为非空凸集。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.