不定積分的換元積分法

這裏介紹求一元不定積分的換元積分法。對於定積分換元公式的推廣，詳見微積分基本定理。

湊微分法（第一換元法）

令$u = f(x)$，如果外層函數$g(u)$的原函數容易找到，設為$G(u)$，則可以進行下述運算來求積分： $$\begin{align} \int g(f(x)) f'(x) \mathrm{d}x & = \int g(f(x)) \mathrm{d} f(x) \\ & = \int g(u) \mathrm{d} u \\ & = G(u) + C = G(f(x)) + C. \end{align}$$ 例如 $$\begin{align} \int \sin(2x) \mathrm{d}x & = \int \sin(2x) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d} (2x) \\ & = \frac{1}{2} \int \sin (2x) \mathrm{d} (2x) \\ & = - \frac{1}{2} \cos(2x) + C. \end{align}$$ 再例如 $$\begin{align} \int \sin^3 x \mathrm{d}x & = \int \sin^2 x \cdot \sin x \mathrm{d} x \\ & = \int (1 - \cos^2 x) \mathrm{d} (-\cos x) \\ & = - \int (1 - \cos^2 x) \mathrm{d} \cos x \\ & = \int \cos^2 x \mathrm{d} \cos x - \int \mathrm{d} \cos x \\ & = \dfrac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C. \end{align}$$

第二換元法

設$f(x), x = \varphi(t), \varphi'(t)$均連續，$x = \varphi(t)$具有嚴格單調性（保證了存在反函數），且 $$\int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathrm{d}t = F(t) + C$$ 則有 $$\int f(x) \mathrm{d}x = F( \varphi^{-1}(x)) + C.$$ 常見的代換方法有根式代換、倒數代換。三角代換。萬能公式法等。

根式代換

常用於各種含根式的情形，例如被積函數中含有$\sqrt{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$，常令$t = \sqrt{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$

例如$\int \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{d}x$，令$t = \sqrt{x}$則$x = t^2$ $$\begin{align} \int \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{d}x & = \int \dfrac{1}{1+t} \mathrm{d}t^2 \\ & = \int \dfrac{2t}{1+t} \mathrm{d}t \\ & = 2 \int \left( 1-\dfrac{1}{1+t} \right) \mathrm{d}t \\ & = 2 (t-\ln(1+t)) + C \\ & = 2\sqrt{x} - 2\ln(1+\sqrt{x}) + C. \end{align}$$

倒數代換

適用於分母次數高於分子次數的有理分式情況，以及被積函數中含有內層函數為倒數的複合函數情況。

例如$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x(x^3+8)}$，令$t = \frac{1}{x}$則$x = \dfrac{1}{t}$ $$\begin{align} \int \dfrac{1}{x(x^3+8)} \mathrm{d}x & = \int \dfrac{t^4}{8t^3+1} \mathrm{d}\frac{1}{t} \\ & = \int \dfrac{t^4}{8t^3+1} \left(-\dfrac{1}{t^2}\right) \mathrm{d}t \\ & = \int \dfrac{t^2}{8t^3+1} \mathrm{d}t \\ & = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{8t^3+1} \mathrm{d}t^3 \\ & = \dfrac{1}{24} \int \dfrac{1}{8t^3+1} \mathrm{d}(8t^3+1) \\ & = \dfrac{1}{24} \ln(8t^3+1) + C \\ & = \dfrac{1}{24} \ln \left( \dfrac{8}{x^3}+1 \right) + C. \end{align}$$

三角代換

被積函數中出現下列二次根式時可以考慮採用對應的變換： $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \sqrt{a^2 - x^2} & x = a \sin \theta & x = a \cos \theta \\ \hline \sqrt{a^2 + x^2} & x = a \tan \theta & x = a \sinh t \\ \hline \sqrt{x^2 - a^2} & x = a \csc \theta & x = a \cosh t \\ \hline \end{array}$$ 對任意的$\sqrt{ax^2 + bx + c}$也可化為以上形式後進行換元。

例如$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}$，令$x=\sin t$則$\mathrm{d}x = \cos t \mathrm{d}t$ $$\begin{align} \int \dfrac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}} & = \int \dfrac{\cos t}{(1 + \sin^2 t) \cos t} \mathrm{d}t \\ & = \int \dfrac{1}{1 + \sin^2 t} \mathrm{d}t \\ & = \int \dfrac{1}{2 \tan^2 t + 1} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 t} \mathrm{d}t \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \int \dfrac{1}{1 + (\sqrt{2} \tan t)^2} \mathrm{d}(\sqrt{2}\tan t \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan t) + C \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \dfrac{\sqrt{2} x}{\sqrt{1-x^2}} \right) + C. \end{align}$$ 又如下例（設$a>0$，變量代換為$x = a \sinh t$） $$\begin{align} \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 +a^2}} & = \int \dfrac{1}{a \cosh t} a \cosh t \mathrm{d}t \\ & = \int \mathrm{d} t = t + C = \operatorname{arsinh} \dfrac{x}{a} + C \\ & = \ln \left| \dfrac{x}{a} + \sqrt{1 + \dfrac{x^2}{a^2}} \right| + C \\ & = \ln \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| - \ln a + C \\ & = \ln \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + \overline{C}. \\ \end{align}$$

萬能代換

常用於含有各種三角函數和多項式函數的分式組合，通常令$t = \tan x$或$t = \tan \dfrac{x}{2}$（$x$是積分變量），則有$\mathrm{d}x = \dfrac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t$或$\mathrm{d}x = \dfrac{2}{1+t^2} \mathrm{d}t$

而由萬能公式，若取$t = \tan \dfrac{x}{2}$，則 $$\begin{matrix} \sin x = \dfrac{2t}{1+t^2} & \cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2} & \tan x = \dfrac{2t}{1-t^2} \end{matrix}$$ 這樣，就化成了有理分式的積分，利用有理分式積分法易得答案。

例如，積分$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{2 \sin x - \cos x + 5}$，令$t = \tan \dfrac{x}{2}$則$\mathrm{d}x = \dfrac{2}{1+t^2} \mathrm{d}t$ $$\begin{align} \int \dfrac{\mathrm{d}x}{2 \sin x - \cos x + 5} & = \int \dfrac{1}{2 \frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} + 5} \cdot \dfrac{2}{1+t^2} \mathrm{d}t \\ & = \int \dfrac{2}{4 t - 1 + t^2 + 5 + 5 t^2} \mathrm{d}t \\ & = \int \dfrac{1}{3 t^2 + 2 t + 2} \mathrm{d}t \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \int \dfrac{1}{\frac{5}{3}+\left(\sqrt{3}t+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \mathrm{d}\left(\sqrt{3}t+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \arctan \left( \dfrac{3t+1}{\sqrt{5}} \right) + C \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \arctan \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}} (3\tan\dfrac{x}{2}+1) \right) + C. \end{align}$$

上下節

• 上一節：常見函數的不定積分
• 下一節：有理分式積分法

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.