这里介绍求一元不定积分的换元积分法。对于定积分换元公式的推广,详见微积分基本定理。
凑微分法(第一换元法)[]
令,如果外层函数的原函数容易找到,设为,则可以进行下述运算来求积分:
例如
再例如
第二换元法[]
设均连续,具有严格单调性(保证了存在反函数),且
则有
常见的代换方法有根式代换、倒数代换。三角代换。万能公式法等。
根式代换[]
常用于各种含根式的情形,例如被积函数中含有,常令
例如,令则
倒数代换[]
适用于分母次数高于分子次数的有理分式情况,以及被积函数中含有内层函数为倒数的复合函数情况。
例如,令则
三角代换[]
被积函数中出现下列二次根式时可以考虑采用对应的变换:
对任意的也可化为以上形式后进行换元。
例如,令则
又如下例(设,变量代换为)
万能代换[]
常用于含有各种三角函数和多项式函数的分式组合,通常令或(是积分变量),则有或
而由万能公式,若取,则
这样,就化成了有理分式的积分,利用有理分式积分法易得答案。
例如,积分,令则
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参考资料
- 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN
978-7-0404-9718-2
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