不定积分

不定积分的概念是为了解决和求微分正好相反的运算（已知某函数的导数，求该函数）而引出的。关于复变函数的不定积分，参见复变函数的不定积分，实变函数中的不定积分参见Lebesgue 微分定理，一般测度的不定积分参见Radon-Nikodym 定理，

原函数

如果在某一个区间上恒有$F'(x) = f(x)$，我们就称$F(x)$为$f(x)$在这个区间上的一个原函数，例如$\forall x \in \mathbb{R}, (x^2)' = 2x$，我们就说$F(x) = x^2$是$f(x) = 2x$的一个原函数。显然，这样的原函数不是唯一的。

可以证明，对应于同一个函数的原函数有无数多个，但它们只相差一个常数，也就是说，下列两个集合是相等的：

$\{ F(x) \in I~|~F(x)$是$f(x)$的一个原函数$\} = \{ F(x) + C~|~F'(x) = f(x), \forall x \in I \}$，$C$为常数。

不定积分

我们把$f(x)$原函数的一般表达式$F(x) + C$称为$f(x)$的不定积分，用以下记号表示

$$\int f(x) \mathrm{d} x = F(x) + C.$$

我们依旧可以认为一个函数的不定积分为一个收集了它所有原函数的集合，上式中$\int$为积分符号，$f(x)$称作被积函数，$x$叫做积分变量，$C$为积分常数，它是任意一个实数。

和微分的关系

积分符号中的$f(x) \mathrm{d} x$可以看作是被积函数$f(x)$和微分$\mathrm{d} x$相乘，因此，有如下关系式：

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int f(x) \mathrm{d}x = f(x)$$

$$\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x = f(x) + C$$

需要注意的是，不定积分的运算结果是一个集合，因此第二个式子要加积分常数。在把原函数看作原函数类（只有相差一个常数的函数的全体）的意义下不定积分和微分运算是互逆运算。

运算性质

不定积分具有线性性，即（以下式子均在积分有意义时成立）

$$\int [ f(x) \pm g(x) ] \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int g(x) \mathrm{d}x$$

$$\int kf(x) \mathrm{d}x = k \int f(x) \mathrm{d}x$$

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参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.