不定方程

在数论中，变数个数多于方程个数，且变数取整数值的方程（或方程组），称为不定方程（方程组）。对不定方程的研究是数论中的一个重要问题。

一次不定方程

设整数$k \geqslant 2$，$c, a_1, a_2, \cdots, a_n$是整数且$a_1, a_2, \cdots, a_n$都不为零如下关于整数变数$x_1,x_2,\cdots,x_n$的方程

$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = c.$$

被称为$n$元一次不定方程，$a_1, a_2, \cdots, a_n$称为它的系数。

解法

一次不定方程$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = c$有解的充要条件是系数的最大公约数$d = (a_1, a_2, \cdots, a_n ) \mid c.$进而在它有解时，它的解和下面的方程的解相等。

$$\dfrac{a_1}{d} x_1 + \dfrac{a_2}{d} x_2 + \cdots + \dfrac{a_n}{d} x_n = \dfrac{c}{d}.$$

进一步地，下面这个定理告诉我们，一个$n$元一次不定方程可转化为$n-1$个二元一次不定方程组的联立求解。

定理：设$g_i = (a_1, a_2, \cdots, a_i), q \leqslant i \leqslant n$，那么上述定义中的不定方程等价于下面的有$2(k-1)$个整数变数$x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_n$，$k - 1$个方程的方程组：

$$\begin{cases} g_{k-1} y_{k-1} + a_k x_k = c, \\ g_{k-2} y_{k-2} + a_{k-1} x_{k-1} = g_{k-1} y_{k-1}, \\ \cdots \\ g_2 y_2 + a_3 x_3 = g_3 y_3, \\ g_1 x_1 + a_2 x_2 = g_2 y_2. \end{cases}$$

这样我们就可以把求解$n$元一次不定方程的问题转化到了求解多个二元一次不定方程上了，在求解的过程中我们始终视变数$y_1, y_2, \cdots, y_n$为中间量，最后再消去。

例如，三元一次不定方程$15 x_1 + 10 x_2 + 6 x_3 = 61.$我们视作下面的方程组：

$$\begin{cases} 5 y_2 + 6 x_3 = 61, \\ 3 x_1 + 2 x_2 = y_2. \end{cases}$$

这都是两个二元一次不定方程，在解第一个时将$y_2$视作未知量，解第二个时将$y_2$视作已知量，紧接着下一节我们会介绍二元一次不定方程的解法。

Pythagoras 方程

形如三个变数的齐次方程

$$x^2 + y^2 = z^2.$$

的不定方程称为 Pythagoras 方程，或商高方程。它是如下形式方程的特例

$$a x^2 + b y^2 + c z^2 = 0$$

我们将在 Pythagoras 方程中讨论它们的解。

平方和问题

定理：任意一个正整数$n$都可以写作四个整数的平方和。

这就是著名的四平方和问题，定理中的“四”是不能改进的，因为形如$4^\alpha (8k+7), \alpha, k \geqslant 0$的数不能表示为三个数的平方和。

进一步，我们会在二平方和问题中讨论能够表示成两个整数的平方和的数满足的条件，这些都是数学家 Fermat 和 Gauss 的研究。

Fermat 方程

这是数论中最出名的一个问题，就是研究不定方程

$$x^n + y^n = z^n$$

的解的问题。

其它若干不定方程的示例

其它一些简单的不定方程可以使用上述方程的推论来求解，或者是使用同余、整除以及$k$次剩余的知识求解。

上下节

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