中文数学 Wiki
Advertisement

不定型極限又稱未定式,是極限求解中常會遇到的一類式子,常見的未定式有 型等。

分母為零[]

在數學中,一般我們做初等計算時規定分數的分母不能為零,這是因為在除法運算時結果是唯一的,而分母為零時則不同,如果 ,那麼 ,在一般的實數集上沒有結果(它的結果是無窮大量,是極限過程中的變量);如果 ,那麼 ,也就是說實數集上的任何一個數都有可能是它的結果,我們就把後者稱為未定式。

但是,單純從兩個數的比是無法得出未定式的結果的,但在研究函數時,往往有可能從極限過程中得出類似形式的結果,這也就是下面要討論的未定式以及洛必達法則

基本不定型[]

以極限過程 為例,其它的五種亦然:定義在去心鄰域 內可導函數 ,如果 ,就稱 型未定式。

函數 的過程中是無窮小量,切不可只理解為 型未定式的分子和分母為常數零(雖然這種也算未定式)。

類似地,另外一種不定型為 型,以極限過程 為例,其它的五種亦然:定義在去心鄰域 內可導函數 ,如果 ,就稱 型未定式。

同樣,函數 的過程中是無窮大量,分子和分母的無窮大量的符號可正可負。由於無窮大量的倒數是無窮小量,所以 型可化為 型。

其它不定型[]

除了上述兩種基本不定型外,還有其它常見的不定型,它們都可以轉化為基本不定型,以下是例子(以極限過程 為例,其它的五種亦然)。

類型 條件 轉化





L' Hospital 法則[]

將不定式極限都處理成 型之後,可以使用 L' Hospital 法則來求解極限。

並不是所有的不定時極限都有解,但有時未定式有解但這個法則卻不適用,所以這個法則有時會失效。

Stolz 定理[]

對於數列的未定式,可以使用 Heine 定理歸結為函數極限問題,也可以使用 Stolz 定理,這個定理相當於數列極限的 L' Hospital 法則。

型的 Stolz 定理是,若數列 是嚴格單調遞增的無窮大量,且

參考資料

  1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
Advertisement