不定型極限又稱未定式,是極限求解中常會遇到的一類式子,常見的未定式有
型等。
分母為零[]
在數學中,一般我們做初等計算時規定分數的分母不能為零,這是因為在除法運算時結果是唯一的,而分母為零時則不同,如果
,那麼
,在一般的實數集上沒有結果(它的結果是無窮大量,是極限過程中的變量);如果
,那麼
,也就是說實數集上的任何一個數都有可能是它的結果,我們就把後者稱為未定式。
但是,單純從兩個數的比是無法得出未定式的結果的,但在研究函數時,往往有可能從極限過程中得出類似形式的結果,這也就是下面要討論的未定式以及洛必達法則。
基本不定型[]
以極限過程
為例,其它的五種亦然:定義在去心鄰域
內可導函數
,如果
,就稱
為
型未定式。
函數
在
的過程中是無窮小量,切不可只理解為
型未定式的分子和分母為常數零(雖然這種也算未定式)。
類似地,另外一種不定型為
型,以極限過程
為例,其它的五種亦然:定義在去心鄰域
內可導函數
,如果
,就稱
為
型未定式。
同樣,函數
在
的過程中是無窮大量,分子和分母的無窮大量的符號可正可負。由於無窮大量的倒數是無窮小量,所以
型可化為
型。
其它不定型[]
除了上述兩種基本不定型外,還有其它常見的不定型,它們都可以轉化為基本不定型,以下是例子(以極限過程
為例,其它的五種亦然)。
類型 |
條件 |
轉化 |
型 |

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型 |

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型 |

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型 |

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型 |

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將不定式極限都處理成
型之後,可以使用 L' Hospital 法則來求解極限。
並不是所有的不定時極限都有解,但有時未定式有解但這個法則卻不適用,所以這個法則有時會失效。
對於數列的未定式,可以使用 Heine 定理歸結為函數極限問題,也可以使用 Stolz 定理,這個定理相當於數列極限的 L' Hospital 法則。
型的 Stolz 定理是,若數列
是嚴格單調遞增的無窮大量,且

則

參考資料