不定型极限

不定型极限又称未定式，是极限求解中常会遇到的一类式子，常见的未定式有 $\dfrac{0}{0}$ 型等。

分母为零

在数学中，一般我们做初等计算时规定分数的分母不能为零，这是因为在除法运算时结果是唯一的，而分母为零时则不同，如果 $a\ne0$，那么 $\dfrac{a}{0} = \infty$ ，在一般的实数集上没有结果（它的结果是无穷大量，是极限过程中的变量）；如果 $a = 0$，那么 $\dfrac{a}{0} \in \mathbb{R}$，也就是说实数集上的任何一个数都有可能是它的结果，我们就把后者称为未定式。

但是，单纯从两个数的比是无法得出未定式的结果的，但在研究函数时，往往有可能从极限过程中得出类似形式的结果，这也就是下面要讨论的未定式以及洛必达法则。

基本不定型

以极限过程 $x \to x_0$ 为例，其它的五种亦然：定义在去心邻域 $U^\circ (x_0)$ 内可导函数 $f(x), g(x)$，如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$，就称 $\lim _{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\dfrac{0}{0}$ 型未定式。

函数 $f(x), g(x)$ 在 $x \to x_0$ 的过程中是无穷小量，切不可只理解为 $\dfrac{0}{0}$ 型未定式的分子和分母为常数零（虽然这种也算未定式）。

类似地，另外一种不定型为 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，以极限过程 $x \to x_0$ 为例，其它的五种亦然：定义在去心邻域 $U^\circ (x_0)$ 内可导函数 $f(x), g(x)$，如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$，就称 $\lim _{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型未定式。

同样，函数 $f(x), g(x)$ 在 $x \to x_0$ 的过程中是无穷大量，分子和分母的无穷大量的符号可正可负。由于无穷大量的倒数是无穷小量，所以 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型可化为 $\dfrac{0}{0}$ 型。

其它不定型

除了上述两种基本不定型外，还有其它常见的不定型，它们都可以转化为基本不定型，以下是例子（以极限过程 $x \to x_0$ 为例，其它的五种亦然）。

类型	条件	转化
$\infty - \infty$ 型	$\lim _{x \to x_0} f(x) = \infty$ $\lim _{x \to x_0} g(x) = \infty$	$f(x) - g(x) = \dfrac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}$
$0 \cdot \infty$ 型	$\lim _{x \to x_0} f(x) = 0$ $\lim _{x \to x_0} g(x) = \infty$	$f(x) \cdot g(x) = \dfrac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$
$1^\infty$ 型	$\lim _{x \to x_0} f(x) = 1$ $\lim _{x \to x_0} g(x) = \infty$	$f(x)^{g(x)} = \exp \dfrac{\ln f(x)} {\frac{1}{g(x)}}$
$\infty^0$ 型	$\lim _{x \to x_0} f(x) = + \infty$ $\lim _{x \to x_0} g(x) = 0$	$f(x)^{g(x)} = \exp \dfrac{g(x)} {\frac{1}{\ln f(x)}}$
$0^0$ 型	$\lim _{x \to x_0} f(x) = 0^+$ $\lim _{x \to x_0} g(x) = 0$	$f(x)^{g(x)} = \exp \dfrac{g(x)} {\frac{1}{\ln f(x)}}$

L' Hospital 法则

将不定式极限都处理成 $\dfrac{0}{0}$ 型之后，可以使用 L' Hospital 法则来求解极限。

并不是所有的不定时极限都有解，但有时未定式有解但这个法则却不适用，所以这个法则有时会失效。

Stolz 定理

对于数列的未定式，可以使用 Heine 定理归结为函数极限问题，也可以使用 Stolz 定理，这个定理相当于数列极限的 L' Hospital 法则。

$\dfrac{*}{\infty}$ 型的 Stolz 定理是，若数列 $\{ a_n \}$ 是严格单调递增的无穷大量，且

$$\lim _{n \to \infty} \dfrac{b_{n+1} - b_n}{a_{n+1} - a_n} = l \in \bar{\mathbb{R}}.$$

则

$$\lim _{n \to \infty} \dfrac{b_n}{a_n} = l.$$

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.