在分析中,上极限(upper limit)和下极限(lower limit)是研究数列和函数的重要工具,而极限则是其特殊情形。上下极限可以不依赖数列的极限对数列(不一定有极限)进行研究,同时也可利用其简单地求解数列极限。
定义[]
设一个无穷数列
是有界的,由 Bolzano-Weierstrass 定理,它一定有收敛子列,我们将
的所有收敛子列的极限收集在一个数集
中,这个数集
是有界集,再由确界定理,
一定有上下确界,我们记

分别称作数列

的上极限和下极限。
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的上下极限分别是
它们不相等。
而对于发散数列

的情形,它一定有一个子列发散到正(负)无穷,这时若

没有有限上界,则记

,若

没有有限下界,则记
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-
是一个上下极限分别为正负无穷的数列;
是一个上极限为正无穷,下极限为零的数列。
我们一般只讨论有有限上(下)极限的情形。
实际上,如果一个数列
的
,那么一定存在一个子列
,使得
,下极限同理。
有界数列
有极限
的充要条件是
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的上下极限都是零,他是收敛数列。
性质[]
有界:
有界:
有界非负:
收敛,
有界:
收敛非负,
有界:
有界,
:
有正上下界:
,特别地,若
满足
,那么
收敛。
函数形式[]
对于一元实函数形式,也有对应的上下极限概念,它是依靠控制函数来定义的。
双侧[]
设函数
,在
的一个去心邻域
中有定义且有界,对任意
,设有关于
的函数

我们分别称上面两个函数是

在点

处的上控函数和下控函数。
如果极限
和
都存在,那么我们分别称它们为函数
在
点处的上极限和下极限,记作
可以证明,
的充要条件是
单侧[]
往往在某些点处,函数
仅在单侧有定义,这驱使我们定义单侧控制函数以及单侧上下极限,以下以
在
的去心右邻域
为例。
如果函数
在
上有定义且有界,设有关于
的函数

我们分别称上面两个函数是

在点

处的右上控函数和右下控函数。
如果极限
和
都存在,那么我们分别称它们为函数
在
点处的右上极限和右下极限,记作
可以证明,
的充要条件是
参考资料
- 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN
978-7-0404-9718-2
. - 崔尚斌, 《数学分析教程(上)》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN
978-7-0303-6805-8
. - 裴礼文, 《数学分析中的典型问题与方法(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN
978-7-0401-8454-9
.