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在分析中,上极限(upper limit)和下极限(lower limit)是研究数列和函数的重要工具,而极限则是其特殊情形。上下极限可以不依赖数列的极限对数列(不一定有极限)进行研究,同时也可利用其简单地求解数列极限。

定义[]

设一个无穷数列是有界的,由 Bolzano-Weierstrass 定理,它一定有收敛子列,我们将的所有收敛子列的极限收集在一个数集中,这个数集是有界集,再由确界定理一定有上下确界,我们记

分别称作数列的上极限和下极限。 展开例子折叠例子的上下极限分别是它们不相等。 而对于发散数列的情形,它一定有一个子列发散到正(负)无穷,这时若没有有限上界,则记,若没有有限下界,则记

展开例子折叠例子

  1. 是一个上下极限分别为正负无穷的数列;
  2. 是一个上极限为正无穷,下极限为零的数列。

我们一般只讨论有有限上(下)极限的情形。

实际上,如果一个数列,那么一定存在一个子列,使得,下极限同理。

有界数列有极限的充要条件是 展开例子折叠例子的上下极限都是零,他是收敛数列。

性质[]

  1. 有界:
  2. 有界:
  3. 有界非负:
  4. 收敛,有界:
  5. 收敛非负,有界:
  6. 有界,
  7. 有正上下界:,特别地,若满足,那么收敛。

函数形式[]

对于一元实函数形式,也有对应的上下极限概念,它是依靠控制函数来定义的。

双侧[]

设函数,在的一个去心邻域中有定义且有界,对任意,设有关于的函数

我们分别称上面两个函数是在点处的上控函数和下控函数。

如果极限都存在,那么我们分别称它们为函数点处的上极限和下极限,记作

可以证明,的充要条件是

单侧[]

往往在某些点处,函数仅在单侧有定义,这驱使我们定义单侧控制函数以及单侧上下极限,以下以的去心右邻域为例。

如果函数上有定义且有界,设有关于的函数

我们分别称上面两个函数是在点处的右上控函数和右下控函数。

如果极限都存在,那么我们分别称它们为函数点处的右上极限和右下极限,记作

可以证明,的充要条件是

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
  2. 崔尚斌, 《数学分析教程(上)》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6805-8.
  3. 裴礼文, 《数学分析中的典型问题与方法(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN 978-7-0401-8454-9.
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