三重积分

三重积分是多元积分中重积分的一种，是微积分学的一个基本而又重要的积分，在概率论中有重要应用。它有很重要的一个物理意义——空间中质量分布不均匀的几何体的总质量。

概念

设有一个有有限体积的三维几何体$V$，在其上定义了一个三元函数$f(x, y, z), \forall (x, y, z) \in V.$将$V$分为若干部分$\Delta \tau_i, i = 1,2,\cdots, n$使其满足$V = \bigcup_{i=1}^n \Delta \tau_i$且$\Delta \tau_i \cap \Delta \tau_j = \varnothing, \forall i \ne j$，记$||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} d(\Delta \tau_i)$（所有分割部分的直径的最大值，也叫分割的模），在$\Delta \tau_i$中任取一点$(x_i, y_i, z_i)$，作下述积分和式

$$\sum_{i=1}^n f(x_i, y_i, z_i) \Delta \tau_i$$

如果上述和式在$||\Delta|| \to 0$时对任意的分割方法和任意的$(x_i, y_i, z_i) \in \Delta \tau_i$都有唯一的有限值，我们就说函数$f(x,y,z)$在$V$上 Riemann 可积，积分和式的极限叫作$f(x,y,z)$在$V$上的定积分（Riemann 积分），记作

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}\tau = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i, z_i) \Delta \tau_i.$$

特别地，在直角坐标系中，通常假设$\Delta \tau_i = \Delta x_i \Delta y_i \Delta z_i$，于是上式可写为

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z.$$

可以证明，若$f(x,y,z)$是$V$上的连续函数，那么它必定可积。

化作三次积分

规则长方体

定理：若$f(x,y,z)$在长方体闭域$V = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times [a_3, b_3]$上可积，且含参变量的积分$F(x, y) = \int_{a_3}^{b_3} f(x, y, z) \mathrm{d}z$和$G(x) = \int_{a_2}^{b_2} F(x, y) \mathrm{d}y$分别在$(x, y) \in [a_1, b_1] \times [x_2, b_2]$和$x \in [a_1, b_1]$上收敛，那么

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int_{a_1}^{b_1} \mathrm{d}x \int_{a_2}^{b_2} \mathrm{d}y \int_{a_3}^{b_3} f(x, y, z) \mathrm{d}z.$$

同样对称地，有其它5种积分顺序，计算有关三重积分时可灵活选取上述一种，有时另一种可能不易或无法求出定积分。

投影法

如果积分区域是一个$Oxy$型区域，我们这样定义它，用投影的方法，设$D(f)$是函数$f(x,y,z)$的定义域，如果（闭）区域$D_{xy} = \{ (x, y, 0) | (x, y, z) \in D(f) \}$位于$Oxy$中，且$z_1 (x, y) \leqslant z \leqslant z_2 (x, y)$是一个区间，那么$V_{xy} = \{ (x, y, z) | (x, y) \in D_{xy}, z_1(x, y) \leqslant z \leqslant z_2(x, y) \}$，曲面$z_1(x, y)$和$z_2(x, y)$称为上界曲面和下界曲面，那么积分

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint_{D_{xy}} \mathrm{d} \sigma_{xy} \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d}z.$$

即该三重积分的计算先对$z$做一元定积分，此时将$x, y$视作常数，然后得到

$$F(x, y) = \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d}z$$

再对平面区域$D_{xy}$做二重积分，得到

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint_{D_{xy}} F(x, y) \mathrm{d}\sigma_{xy}.$$

同样我们也可定义$Oyz, Oxz$型区域并进行类似计算。

切片法

切片法是说，选择作为基准的坐标轴，例如$x$轴，设$D(f)$是函数$f(x,y,z)$的定义域，$\{ x : x \in D(f) \}$是一个闭区间$[a, b]$，那么对于每个固定的$x$，作位于$Oxy$中的切面投影$D_{yz}(x) = \{ (0, y, z) | (x, y, z) \in D(f) \}$，这样$D(f)$就相当于若干这样的$D_{yz}(x)$平面堆叠起来的。于是积分

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int_a^b \mathrm{d}x \iint_{D_{xy}(x)} f(x, y, z) \mathrm{d} \sigma_{xy}.$$

即该三重积分的计算先对$D_{xy} (x)$做二重积分，此时将$x$视作常数，然后再对平面区域${\displaystyle }$做一元定积分。同样我们也可对$y,z$轴进行类似计算。

对于投影法和切片法中定义的“单个区间”的限制不满足的区域，可以考虑分解为有限个符合上述条件的区域分别计算。

坐标变换

有时候使用直角形式的假设$\mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z$计算$f(x,y,z)$是不方便甚至用初等方法求不出积分，因此我们可以考虑做变量代换。在三维情形下，设有可逆的连续坐标变换$\boldsymbol{T} (x, y, z) = (u, v, w)$，这也就是说存在具有连续导数的三元实函数$x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)$，使得 Jacobi 行列式$J = \dfrac{D(x, y, z)}{D(u, v, w)} \ne 0.$同时三元可逆映射$\boldsymbol{T}$将区域$V = \{ (x, y, z) \}$映作$V' = \{ (u, v, w) \}.$

这样，我们有$\mathrm{d} x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = |J| \mathrm{d}u \mathrm{d}v \mathrm{d}w$，进而

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iiint_{V'} f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) |J| \mathrm{d}u \mathrm{d}v \mathrm{d}w.$$

在有一些圆对称性或球对称性的场合下，我们做球坐标变换或柱坐标变换是比较容易解决问题的。

球坐标变换

做如下变量代换

$$\begin{cases} x = \rho \sin \varphi \cos \theta, \\ y = \rho \sin \varphi \sin \theta, \\ z = \rho \cos \varphi. \end{cases} \qquad \rho > 0, \quad \theta \in [0, 2 \pi), \quad \varphi \in [0, \pi].$$

它的 Jacobi 行列式$J = \dfrac{D(x, y, z)}{D(\rho, \varphi, \theta)} = \rho^2 \sin \varphi$。这样

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iiint_{V'} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^2 \sin \varphi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi.$$

柱坐标变换

$$\begin{cases} x = r \cos \theta, \\ y = r \sin \theta, \\ z = z. \end{cases} \qquad r > 0, \quad \theta \in [0, 2 \pi).$$

它的 Jacobi 行列式$J = \dfrac{D(x, y, z)}{D(r, \theta, z)} = r$。这样

$$\iiint_V f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iiint_{V'} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z.$$

上下节

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参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.