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矩阵代数中,三角行列式是经常遇到的一类行列式,它是一类对角线上方(或下方)均为零的行列式,其计算较为简单,因此在计算行列式的值时我们通常会通过初等变换将一个行列式化为三角行列式计算。

概念[]

称如下矩阵上三角矩阵(upper triangular matrix),上三角行列式(upper triangular determinant)。

特别地,对角矩阵和零矩阵也是三角矩阵。同样可以定义下三角矩阵下三角行列式,上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵,上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式

性质[]

  1. 是三角矩阵,按照行列式的定义,将按照每一行从左向右逐行展开,有
  2. 如果是上三角矩阵,那么是下三角矩阵。
  3. 可逆,且若是上三角矩阵,那么也是上三角矩阵。
  4. 如果是三角矩阵,且满足(即对称矩阵),那么是对角矩阵。
  5. 如果是三角矩阵,且满足(即正交矩阵),那么是对角矩阵,且对角线上的元素只可能是

分块三角矩阵(行列式)[]

设矩阵有如下分块

那么就称是分块的上三角矩阵,在是方阵的时候有

同样可以定义分块下三角分块矩阵,它和三角矩阵有着类似的性质。

应用[]

计算行列式[]

即通过初等变换将行列式化为上(下)三角行列式,这样行列式的值就是对角线上元素的乘积,这种方法简单易操作,但需要注意到行列式的行列之间的联系,在阶行列式中通常要连续做多次这样的行列初等变换才能逐步化为上(下)三角行列式,但有时这样做会破坏行列式的整体结构,使原来的行列式复杂化。例如,

其中第一个等号是将第行加到第行上,第三个等号是第一行的倍加到第行上。

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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