三角恒等式

这里介绍一些有关三角函数的恒等式，它们可以推广到双曲函数以及复三角函数上去。

同角关系

倒数关系

$\sin \theta \csc \theta =1,\quad \tan \theta \cot \theta =1,\quad \sec \theta \cos \theta =1.$

乘积关系

${\begin{aligned}\sin \theta &=\cos \theta \tan \theta ,&\tan \theta &=\sin \theta \sec \theta ,&\sec \theta &=\tan \theta \csc \theta ,\\\csc \theta &=\sec \theta \cot \theta ,&\cot \theta &=\csc \theta \cos \theta ,&\cos \theta &=\cot \theta \sin \theta .\end{aligned}}$

平方和关系

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \quad \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta, \quad \cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta.$

同角三角函数相互表示

三角函数的相互表示可以根据基本恒等式和它们之间的相互定义来推出，实际上也可在三角形中演示出答案（仅限锐角三角函数）。

以下以第一象限角为例，其余象限角要根据适当情形在根式前添加正负号。

函数	sin	cos	tan	cot	sec	csc
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\dfrac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\dfrac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\dfrac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\dfrac{1}{\csc \theta}$
$\cos \theta =$	$\sqrt{1 - \sin^2\theta}$	$\cos \theta$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\dfrac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\dfrac{1}{\sec \theta}$	$\dfrac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
$\tan \theta =$	$\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	$\dfrac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta$	$\dfrac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\dfrac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\cot \theta =$	$\dfrac{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}{\sin \theta}$	$\dfrac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	$\dfrac{1}{\tan\theta}$	$\cot \theta$	$\dfrac{1}{\sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
$\sec \theta =$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$	$\dfrac{1}{\cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	$\dfrac{\sqrt{1 + \cot^2\theta}}{\cot \theta}$	$\sec \theta$	$\dfrac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\csc \theta =$	$\dfrac{1}{\sin \theta}$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	$\dfrac{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}{\tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	$\dfrac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta$

欧拉公式

${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }&=\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta ,&\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }&=\cos \theta -\mathrm {i} \sin \theta ,\\\cos \theta &={\dfrac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}},&\sin \theta &={\dfrac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2\mathrm {i} }}.\end{aligned}}$

基本变换公式

所谓的诱导公式将三角函数的定义域从锐角扩展到任意角，即全体实数。

一个口诀是奇变偶不变，符号看象限。使用时直接当作和差角公式处理，并代入特殊值。

正弦的图像比余弦超前$\dfrac{\pi}{2}$，余弦的图像比负的正弦超前$\dfrac{\pi}{2}$，正切比负的余切超前$\dfrac{\pi}{2}$。正余弦间角度相差$\dfrac{k\pi}{2}~(k \in \Z)$。

两角和差公式

和差角公式是最基本的三角恒等式。尤其是余弦差角公式，凭它和弧度不等式即可得到三角函数的全部内容。

和差角公式可以由几何作图、向量乘积、欧拉公式、旋转矩阵等不同方法引入。

$\begin{align} \sin (\theta \pm \varphi) & = \sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi, \\ \cos (\theta \pm \varphi) & = \cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi, \\ \tan (\theta \pm \varphi) & = \dfrac{\tan \theta \pm \tan \varphi}{1 \mp \tan \theta \tan \varphi}, \\ \cot (\theta \pm \varphi) & = \dfrac{\cot \theta \cot \varphi \mp 1}{\cot \theta \pm \cot \varphi}, \\ \sec (\theta \pm \varphi) & = \dfrac{\sec \theta \sec \varphi}{1 \mp \tan \theta \tan \varphi}, \\ \csc (\theta \pm \varphi) & = \dfrac{\csc \theta \csc \varphi}{\cot \theta \pm \cot \varphi}. \end{align}$

和积互化公式

积化和差公式

${\begin{aligned}\sin \theta \sin \varphi &=-{\dfrac {\cos(\theta +\varphi )-\cos(\theta -\varphi )}{2}},&\sin \theta \cos \varphi &={\dfrac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{2}},\\\cos \theta \cos \varphi &={\dfrac {\cos(\theta +\varphi )+\cos(\theta -\varphi )}{2}},&\cos \theta \sin \varphi &={\dfrac {\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}{2}}.\end{aligned}}$

和差化积公式

${\begin{aligned}\sin \theta +\sin \varphi &=2\sin {\dfrac {\theta +\varphi }{2}}\cos {\dfrac {\theta -\varphi }{2}},&\sin \theta -\sin \varphi &=2\cos {\dfrac {\theta +\varphi }{2}}\sin {\dfrac {\theta -\varphi }{2}},\\\cos \theta +\cos \varphi &=2\cos {\dfrac {\theta +\varphi }{2}}\cos {\dfrac {\theta -\varphi }{2}},&\cos \theta -\cos \varphi &=-2\sin {\dfrac {\theta +\varphi }{2}}\sin {\dfrac {\theta -\varphi }{2}}.\end{aligned}}$

积化和差起到裂项的作用，在积分、三角级数中应用广泛。

而和差化积起到因式分解的作用，方便导出高倍角公式的递推式、半角的正切公式等。对于小角度来说 $\sigma \approx \sin \sigma$ ，三角函数的差化积公式都暗示了各自的微分表达式。

正余切割诸函数的和差化积。正余切和差的分解因式都不是正余切，但是不涉及半角。

${\begin{aligned}\tan \theta \pm \tan \varphi &={\dfrac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \cos \varphi }},\\\cot \theta \pm \cot \varphi &=-{\dfrac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\sin \theta \sin \varphi }},&\cot \theta \pm \tan \varphi &=\csc \theta \sec \varphi \cos(\theta \mp \varphi ),\\\sec \theta +\sec \varphi &={\dfrac {2\sec \theta \sec \varphi }{\sec {\frac {\theta +\varphi }{2}}\sec {\frac {\theta -\varphi }{2}}}},&\sec \theta -\sec \varphi &=-2\sec \theta \sec \varphi \sin {\dfrac {\theta +\varphi }{2}}\sin {\dfrac {\theta -\varphi }{2}},\\\csc \theta +\csc \varphi &={\dfrac {2\csc \theta \csc \varphi }{\csc {\frac {\theta +\varphi }{2}}\sec {\frac {\theta -\varphi }{2}}}},&\csc \theta -\csc \varphi &=2\csc \theta \csc \varphi \cos {\dfrac {\theta +\varphi }{2}}\sin {\dfrac {\theta -\varphi }{2}}.\end{aligned}}$

倍角公式

二倍角公式

${\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta ,\\\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ,\\\tan 2\theta &={\dfrac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\dfrac {1}{1-\tan \theta }}-{\frac {1}{1+\tan \theta }},\\\cot 2\theta &={\dfrac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }},\\\sec 2\theta &={\dfrac {\sec ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\dfrac {2}{2-\sec ^{2}\theta }}-1,\\\csc 2\theta &={\frac {1}{2}}\sec \theta \csc \theta ={\dfrac {\csc ^{2}\theta }{2\cot \theta }}.\end{aligned}}$

三倍角公式

${\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =\sin \theta (4\cos ^{2}\theta -1),\\\cos 3\theta &=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta ,\\\dots \end{aligned}}$

多倍角公式（涉及到Chebyshev 多项式，可考虑棣莫弗公式）

$\begin{align} \sin n\theta & = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta \sin^{n-k} \theta \sin\left[ \frac{1}{2} (n-k) \pi \right] = \sin \theta \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}(-1)^k \binom{n-1-k}{k} (2\cos \theta)^{n-1-2k}, \\ \cos n\theta & = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta \sin^{n-k} \theta \cos\left[ \frac{1}{2} (n-k) \pi \right] = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}(-1)^k \frac{n}{n-k} \binom{n-k}{k} (2\cos \theta)^{n-2k}, \\ \tan n\theta &= \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} (-1)^{k+1} \binom{n}{2k-1} \tan^{2k-1}\theta}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\left[\frac{n+1}{2}\right]} (-1)^{k+1} \binom{n}{2(k-1)} \tan^{2(k-1)}\theta}. \end{align}$

多倍角公式的递推公式

${\begin{aligned}\cos(n+1)\theta &=2\cos n\theta \cos \theta -\cos(n-1)\theta ,&\sin(n+1)\theta &=2\sin n\theta \cos \theta -\sin(n-1)\theta ,\\T_{n+1}&=2\operatorname {id} T_{n}-T_{n-1},&U_{n+1}&=2\operatorname {id} U_{n}-U_{n-1},\\\cos n\theta &=T_{n}(\cos \theta ),&\sin(n+1)\theta &=\sin \theta U_{n}(\cos \theta ).\end{aligned}}$

半角公式

${\begin{aligned}\sin {\dfrac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\dfrac {1-\cos \theta }{2}}},\\\cos {\dfrac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\dfrac {1+\cos \theta }{2}}},\\\tan {\dfrac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\dfrac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\dfrac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\dfrac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ,\\\cot {\dfrac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\dfrac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\dfrac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\dfrac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}=\csc \theta +\cot \theta ,\\\sec {\dfrac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\dfrac {2\sec \theta }{\sec \theta +1}}},\\\csc {\dfrac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\dfrac {2\sec \theta }{\sec \theta -1}}}.\end{aligned}}$

其中正余切的半角公式和如下的两角均形式具有非根式形式，是和差化积公式的自然导出，象征着等腰三角形的“三线合一”。

${\begin{aligned}\tan {\dfrac {\theta +\varphi }{2}}&={\frac {\sin \theta +\sin \varphi }{\cos \theta +\cos \varphi }},\quad \cot {\dfrac {\theta +\varphi }{2}}={\frac {\sin \theta -\sin \varphi }{\cos \theta -\cos \varphi }},\\\tan {\dfrac {\theta -\varphi }{2}}&={\frac {\sin \theta -\sin \varphi }{\cos \theta +\cos \varphi }},\quad \cot {\dfrac {\theta -\varphi }{2}}={\frac {\sin \theta +\sin \varphi }{\cos \theta -\cos \varphi }}.\end{aligned}}$

降幂公式

将高次幂的三角函数化为倍角形式的三角函数。在积分中广泛应用。 一般公式：

$\begin{align} & \begin{cases} \sin^{2m+1} \theta &= \displaystyle{\frac{1}{2^{2m}} \sum_{k=0}^m (-1)^{\left(m-k\right)} \binom{2m+1}{k} \sin{[(2m-2k+1)\theta]}}, \\ \sin^{2m} \theta &= \displaystyle{\frac{1}{2^{2m}} \binom{2m}{m} + \frac{2}{2^{2m}} \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^{\left(m-k\right)} \binom{2m}{k} \cos{[(2m-2k)\theta]}}. \end{cases} \\ & \begin{cases} \cos^{2m+1} \theta &= \displaystyle{\frac{1}{2^{2m}} \sum_{k=0}^m \binom{2m+1}{k} \cos{[(2m-2k+1)\theta]}}, \\ \cos^{2m} \theta &= \displaystyle{\frac{1}{2^{2m}} \binom{2m}{m} + \frac{2}{2^{2m}} \sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{k} \cos{[(2m-2k)\theta]}}, \end{cases} \end{align} \quad m \in \N.$

特例：

$\begin{align} & \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, && \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, \\ & \sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}, && \cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}, \\ & \sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}, && \cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}. \end{align}$

万能公式

若记$t = \tan \dfrac{\theta}{2}$，根据二倍角公式及基本恒等式，有

$\begin{align} & \sin \theta = \dfrac{2t}{1+t^2}, && \cos \theta = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \\ & \tan \theta = \dfrac{2t}{1-t^2}, && \cot \theta = \dfrac{1-t^2}{2t}, \\ & \sec \theta = \dfrac{1+t^2}{1-t^2}, && \csc \theta = \dfrac{1+t^2}{2t}, \\ \end{align}$

这在处理有关有理分式三角函数的积分时有重要作用。

辅助角公式

正弦与余弦函数的线性组合都是正弦型函数。

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\arctan {\frac {b}{a}})$

推而广之，以正弦型函数 $A\sin(\omega x+\varphi )$ 或复指数函数 $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega x+z}$ 为波形的振动是简谐振动，那么两个同频率简谐振动的合成依然是简谐振动。这也就是说

$A_{1}\sin(\omega x+\varphi _{1})+A_{2}\sin(\omega x+\varphi _{2})=A\sin(\omega x+\varphi )$

其中

$A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}},\quad \varphi =\operatorname {Arg} (A_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{1}}+A_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{2}})=\arctan {\dfrac {A_{1}\sin \varphi _{1}+A_{2}\sin \varphi _{2}}{A_{1}\cos \varphi _{1}+A_{2}\cos \varphi _{2}}}.$

参见

• 三角函数
• 反三角函数
• 三角积分
• 双曲函数
• 双曲积分
• 双曲恒等式
• 复指数函数