这里介绍一些有关三角函数的恒等式,它们可以推广到双曲函数以及复三角函数上去。
同角关系[]
倒数关系

乘积关系

平方和关系

同角三角函数相互表示[]
三角函数的相互表示可以根据基本恒等式和它们之间的相互定义来推出,实际上也可在三角形中演示出答案(仅限锐角三角函数)。
以下以第一象限角为例,其余象限角要根据适当情形在根式前添加正负号。
函数
|
sin
|
cos
|
tan
|
cot
|
sec
|
csc
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
欧拉公式[]

基本变换公式[]
所谓的诱导公式将三角函数的定义域从锐角扩展到任意角,即全体实数。
一个口诀是奇变偶不变,符号看象限。使用时直接当作和差角公式处理,并代入特殊值。
正弦的图像比余弦超前
,余弦的图像比负的正弦超前
,正切比负的余切超前
。正余弦间角度相差
。
两角和差公式[]
和差角公式是最基本的三角恒等式。尤其是余弦差角公式,凭它和弧度不等式即可得到三角函数的全部内容。
和差角公式可以由几何作图、向量乘积、欧拉公式、旋转矩阵等不同方法引入。

和积互化公式[]
积化和差公式

和差化积公式

积化和差起到裂项的作用,在积分、三角级数中应用广泛。
而和差化积起到因式分解的作用,方便导出高倍角公式的递推式、半角的正切公式等。对于小角度来说
,三角函数的差化积公式都暗示了各自的微分表达式。
正余切割诸函数的和差化积。正余切和差的分解因式都不是正余切,但是不涉及半角。

倍角公式[]
二倍角公式

三倍角公式

多倍角公式(涉及到Chebyshev 多项式,可考虑棣莫弗公式)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin n\theta &=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \sin ^{n-k}\theta \sin \left[{\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right]=\sin \theta \sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-1-k}{k}}(2\cos \theta )^{n-1-2k},\\\cos n\theta &=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \sin ^{n-k}\theta \cos \left[{\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right]={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}(2\cos \theta )^{n-2k},\\\tan n\theta &={\dfrac {\displaystyle \sum _{k=1}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}(-1)^{k+1}{\binom {n}{2k-1}}\tan ^{2k-1}\theta }{\displaystyle \sum _{k=1}^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}(-1)^{k+1}{\binom {n}{2(k-1)}}\tan ^{2(k-1)}\theta }}.\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/264824bbd5b0b3f2c9ed23c3549bf3b9d953d186)
多倍角公式的递推公式

半角公式

其中正余切的半角公式和如下的两角均形式具有非根式形式,是和差化积公式的自然导出,象征着等腰三角形的“三线合一”。

降幂公式[]
将高次幂的三角函数化为倍角形式的三角函数。在积分中广泛应用。
一般公式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{cases}\sin ^{2m+1}\theta &=\displaystyle {{\frac {1}{2^{2m}}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{\left(m-k\right)}{\binom {2m+1}{k}}\sin {[(2m-2k+1)\theta ]}},\\\sin ^{2m}\theta &=\displaystyle {{\frac {1}{2^{2m}}}{\binom {2m}{m}}+{\frac {2}{2^{2m}}}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{\left(m-k\right)}{\binom {2m}{k}}\cos {[(2m-2k)\theta ]}}.\end{cases}}\\&{\begin{cases}\cos ^{2m+1}\theta &=\displaystyle {{\frac {1}{2^{2m}}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {2m+1}{k}}\cos {[(2m-2k+1)\theta ]}},\\\cos ^{2m}\theta &=\displaystyle {{\frac {1}{2^{2m}}}{\binom {2m}{m}}+{\frac {2}{2^{2m}}}\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {2m}{k}}\cos {[(2m-2k)\theta ]}},\end{cases}}\end{aligned}}\quad m\in \mathbb {N} .}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/4015605bd480ee58fa170678465258eef7af8b11)
特例:

万能公式[]
若记
,根据二倍角公式及基本恒等式,有

这在处理有关有理分式三角函数的积分时有重要作用。
辅助角公式[]
正弦与余弦函数的线性组合都是正弦型函数。

推而广之,以正弦型函数
或复指数函数
为波形的振动是简谐振动,那么两个同频率简谐振动的合成依然是简谐振动。这也就是说

其中

参见[]