三角形

三角形（triangle）是各種多邊形的一種，在幾何上如點、線、角、圓一般，佔有重要的地位。

基本上三角形只要它三邊的比值確定，則它的三個角的角度亦跟著確定，反之亦然，因此在幾何證明上，三角形有著重要的地位。

在歐幾里德空間中，不管是什麼樣的三角形，它的三個內角角度和恆為180度，但在其他幾何空間中則不然。

三角形的边角

一个三角形可以通过给定三个顶点（不共线的三点）来刻画，例如由不共线的三点$A, B, C$确定的三角形可记作三角形$ABC$，也可写作$\Delta ABC$，$A, B, C$可作为内角$\angle BAC, \angle ABC, \angle ACB$的简写，同时边$AB, BC, AC$也可记作$c, a, b.$

每个内角的补角称为外角，外角角度的取值是$0 \sim 180$度，一个顶点对应有两个外角，它们是对顶角因此大小相等。

边的关系：

1. 两边之和大于第三边；
2. 两边之差小于第三边。

角的关系：

1. 内角和为180度。
2. 外角和为360度。

三角形的全等

若能說明以下的性質任何一項成立，則該兩個三角形可視作相等的兩個三角形：

• 兩三角形的三個邊長度一樣（SSS）；
• 兩三角形的某兩邊長度一樣，且該兩邊所夾的角的角度相等（SAS）；
• 兩三角形的某兩個角角度與對方的一樣，且該兩個三角形有其中一邊長度一樣（ASA、AAS）；
• 兩直角三角形的其中一股與其斜邊長度一樣（RHS或HL）。

三角形的相似

若能說明以下性質任何一項成立，則該兩個三角形可視作相似的兩個三角形：

• 兩三角形至少有兩個角角度一樣（AA、AAA）；
• 兩三角形的三邊的比值一樣（SSS）；
• 兩三角形的某兩邊長度比值一樣，且該兩邊所夾的角的角度相等（SAS）。

两个三角形如果相似，对应边的比值称为相似比。

三角形的坐标表示

我们首先要把三角形的各边当作向量，这样可以建立坐标。常用的坐标是直角坐标和仿射坐标，前者依赖于具体的坐标系的选择，后者不依赖于坐标系的选择，是内蕴几何量。

直角坐标

三角形可以嵌入到一个平面中，因此最常用的就是以三角形所在的平面为基准面在其上建立平面直角坐标系，选定一个坐标原点$O(0,0)$和两个坐标轴，我们可以写出三角形的三个顶点的坐标，例如$\Delta ABC$的平面直角坐标可以为$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$。

此外可以选择空间直角坐标系和更高维的 Euclid 空间$\R^n$中的直角坐标系，例如$\Delta ABC$的三维空间直角坐标可以为$A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2), C(x_3, y_3, z_3)$。而嵌入到更高维的坐标系中也有相应的推广，只需注意到$OA, OB, OC$是$\R^n$中的向量即可。

仿射坐标

根据仿射变换原理，我们可以取$\Delta ABC$的两个边，例如$AB, AC$为单位基建立仿射坐标系，这时平面中的点$P$的仿射坐标为$P(\alpha, \beta)$，其中

$$\overrightarrow{AP} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}.$$

我们有三角形仿射变换的基本性质：

1. $P$在直线$BC$上当且仅当$\alpha + \beta = 1,$
2. $P$在线段$BC$上当且仅当$\alpha + \beta = 1, \alpha, \beta \geqslant 0.$

三角形的面积

三角形$\Delta ABC$角$A, B, C$的对边分别为$a,b,c$，那么它的面积公式：

1. 底乘高之半，即假设$a$边对应的高为$h$，则$S_\Delta = \dfrac{1}{2} ah.$
2. Heron-秦九韶公式：$S_\Delta = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p = \dfrac{1}{2} C_\Delta = \dfrac{1}{2}(a+b+c).$
3. 正弦定理：$S_\Delta = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2} ac \sin B = \dfrac{1}{2} ab \sin C.$
4. 用正切函数表示：$S_\Delta = \dfrac{1}{4} (a^2+b^2-c^2) \tan C = \dfrac{1}{4} [(a+b)^2-c^2] \tan \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{4} [c^2-(a-b)^2] \cot \dfrac{C}{2}.$
5. 外心的面积坐标基本公式：$S_\Delta = \dfrac{a^2}{4} \cot A + \dfrac{b^2}{4} \cot B + \dfrac{c^2}{4} \cot C.$
6. 假设三角形在平面直角坐标系中有直角坐标$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$，那么它的定向面积为
   $$S = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C} = \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}$$
   上式可能会是负值，这使得三角形面积为其绝对值$S_\Delta = |S|.$
7. 水平长乘铅垂高之半：假设三角形在平面直角坐标系中有直角坐标$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$，那么$S_\Delta = \dfrac{1}{2} (\max y_i - \min y_i)(\max x_i - \min x_i).$

面积坐标

根据仿射变换原理，我们可以取$\Delta ABC$的两个边，例如$AB, AC$为单位基建立仿射坐标系，这时平面中的点$P$的仿射坐标为$P(\alpha, \beta)$，其中

$$\overrightarrow{AP} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}.$$

此外它还将拥有面积坐标$(L_1, L_2, L_3)$，其中

$$L_1 = (-1)^i \dfrac{S_{\Delta BCP}}{S_{\Delta ABC}}, L_2 = (-1)^j \dfrac{S_{\Delta ACP}}{S_{\Delta ABC}}, L_3 = (-1)^k \dfrac{S_{\Delta ABP}}{S_{\Delta ABC}}.$$

这里$i$的选择原理：

1. $\Delta BCP$完全在$\Delta ABC$外，则$i=1$；
2. $\Delta BCP$完全在$\Delta ABC$内，则$i=0$。

$j, k$同理，考察对应的$\Delta ACP, \Delta ABP.$

或者如下行列式定义

$$S = \dfrac{1}{ 2} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}, \quad L_1 = \dfrac{1}{2S} \begin{vmatrix} 1 & x & y \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}, \quad L_2 = \dfrac{1}{2S} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x & y \\ 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}, \quad L_3 = \dfrac{1}{2S} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x & y \end{vmatrix}.$$

面积坐标中我们引入了三个分量，实际上只有两个，因为它们之间有一个约束关系：

$$L_1 + L_2 + L_3 = 1.$$

面积坐标$(L_1, L_2, L_3)$转化为直角坐标$P(x, y)$的公式：

$$\begin{cases} x = x_1 L_1 + x_2 L_2 + x_3 L_3, \\ y = y_1 L_1 + y_2 L_2 + y_3 L_3. \end{cases}$$

这里，三角形在平面直角坐标系中有直角坐标$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3).$可以证明

$$\iint_{\Delta ABC} L_1^p L_2^q L_3^r \mathrm{d}x \mathrm{d}y = 2S \cdot \dfrac{p! q! r!}{(p+q+r+2)!}.$$

其中$p, q, r \geqslant 0.$非正整数的阶乘$s!$理解为 Γ 函数$\Gamma(s+1).$

三角形的五心

以下假设$\Delta ABC$的平面直角坐标为$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$，仿射坐标系以$AB, AC$为仿射轴建立，面积坐标按上面的方式定义。

重心和几何中心

在三角形中，重心$G$和几何中心一致，是三角形三条中线的交点。重心的位置：在中线上靠近边的三等分点处。

1. 在面积坐标系下重心的面积坐标为$\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \right)$；
2. 在仿射坐标系下重心的仿射坐标为$\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \right)$；
3. 在平面直角坐标系下重心的直角坐标为$\dfrac{1}{3}(x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3)$；

其拥有如下性质：

1. 重心到三个顶点的距离的平方和最小；
2. 以重心为起点，三个顶点为终点的三个向量之和为零向量。

内心

在三角形中，内心是内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。

1. 在面积坐标系下内心的面积坐标为$\left( \dfrac{a}{a+b+c}, \dfrac{b}{a+b+c}, \dfrac{c}{a+b+c} \right)$；
2. 在仿射坐标系下内心的仿射坐标为$\dfrac{(b, c)}{a+b+c}$；
3. 在平面直角坐标系下内心的直角坐标为$\dfrac{(ax_1 + bx_2 + cx_3, ay_1 + by_2 + cy_3)}{a+b+c}$。

外心

在三角形中，外心是外切圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点。

1. 在面积坐标系下外心的面积坐标为$\dfrac{(a^2 \cot A, b^2 \cot B, c^2 \cot C)}{a^2 \cot A + b^2 \cot B +c^2 \cot C}$；
2. 在平面直角坐标系下外心的直角坐标为$\dfrac{(x_1, y_1)a^2 \cot A + (x_2, y_2) b^2 \cot B + (x_3, y_3)c^2 \cot C}{a^2 \cot A + b^2 \cot B +c^2 \cot C}$；

垂心

在三角形中，垂心是三角形三条高线所在直线的交点。

1. 在平面直角坐标系下垂心的直角坐标为$\dfrac{1}{2S_{\Delta ABC}}\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} x_2 x_3 + y_2 y_3 & 1 & y_1 \\ x_3 x_1 + y_3 y_1 & 1 & y_2 \\ x_1 x_2 + y_1 y_2 & 1 & y_3 \end{vmatrix}, & \begin{vmatrix} x_2 x_3 + y_2 y_3 & x_1 & 1 \\ x_3 x_1 + y_3 y_1 & x_2 & 1 \\ x_1 x_2 + y_1 y_2 & x_3 & 1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$。

旁心

在三角形中，与一边和另外两边的延长线相切的圆称为旁切圆，其圆心称为旁心。一个三角形总有三个旁心。

常用定理

Fermat 点

对于平面内任意的每个内角不超过120°的三角形$ABC$，三角形内的点$P$到三个顶点距离之和最小的充要条件为$\angle {APB}=\angle {BPC}=\angle {CPA}=120^{\circ }$，该点称之为 Fermat 点.

证明：不妨将三角形$APC$绕$C$旋转$60^{\circ}$至三角形$A'P'C$，则有等边三角形$PCP'$，即$PA+PB+PC=A'P'+P'P+PB$，显然$A,P,P',B$共线时最短，故这个三角形的每个内角小于120°时，$\angle {APC}=2\angle {P'PC}=120^{\circ }$. 反过来可证明必要性. 得证.

它还有一个变式：点$P$满足$aPA+bPB+cPC$最小时的情况，这被称作加权 Fermat 点. 对于此类问题，我们依旧可以采取上面的做法，即三步走：

1. 系数化为一：指将原式化为形如$PA+{\frac {b}{a}}PB+{\frac {c}{a}}PC$的形式，下面将$PB$的系数化为一.
2. 旋转位似：旋转三角形$APC$至三角形$A'P'C'$，旋转角设为$\theta$，并对其作位似变换，变换为三角形$A''P''C''$，位似中心为$C'$，位似比设为$k$. 于是问题转化为求$BP+PP''+P''A''$的最小值，显然共线时最短，故只需解出$\theta ,k$即可.
3. 解三角形：显然$k={\frac {a}{b}}$，则$P''C''=kPC={\frac {a}{b}}PC$. 在三角形$PC''P''$中，由余弦定理得
   $$\theta =\arccos {\frac {PC^{2}+P''C^{2}-PP''^{2}}{2PC\cdot P''C''}}=\arccos {\frac {a^{2}-c^{2}+1}{2ab}}$$

因此得到通解. 其限制条件为${\begin{cases}\angle {BPC}>\angle {BAC}\\\angle {CPA}>\angle {CAB}\\\angle {APB}>\angle {ACB}\end{cases}}$且$a,b,c$需要满足三角形三边关系.

Menelaus 定理

该定理出现于古希腊数学家 Menelaus 著作《球面三角学》. 该定理的描述为：对于三角形$ABC$，若存在直线$l$交三边所在的直线分别于点$D,E,F$，则有${\frac {AD}{DB}}\cdot {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}=1$.

证明的方法多种多样，这里仅展示一种：过$A, B, C$作$l$的垂线，垂足分别为$L,M,N$. 于是有

$${\frac {AD}{DB}}\cdot {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}={\frac {AL}{BM}}\cdot {\frac {BM}{CN}}\cdot {\frac {CN}{AL}}=1$$

它的逆定理同样成立：即在三角形$ABC$的三边所在直线上存在三个点$D,E,F$使得${\frac {AD}{DB}}\cdot {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}=1$，则$D,E,F$共线（称为梅氏线）.

证明用同一法：不妨设直线$DE$交边$AC$于点$F'$，则有${\frac {AD}{DB}}\cdot {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF'}{F'A}}=1$，即${\frac {CF'}{F'A}}={\frac {CF}{FA}}$，故$F'$与$F$重合，得证.

对于更多边形而言，也有它的推广定理：在平面$n(n\geq 4)$边形$A_1A_2A_3\cdots A_n$的各边所在直线上分别有$B_{1},B_{2},B_{3},\cdots ,B_{n}$共线是$\prod _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}B_{i}}{B_{i}A_{i+1}}}=1$（其中$A_{n+1}$即$A_1$）的充分不必要条件.

Ceva 定理

该定理出现于意大利数学家 Giovanni Ceva 著作《直线论》. 该定理的描述为：在三角形$ABC$中任取一点$O$，延长$AO,BO,CO$分别交对边于$D,E,F$，则有$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$. 这是 Menelaus 定理的直接推论之一，只需注意到$BE,CF$分别是三角形$ADC,ADB$的梅氏线即可. 其逆定理亦成立，证明与 Menelaus 的逆定理相似，这可被用于证明三线共点.

由此可以推出三角形外心、内心和重心的唯一性，而垂心的唯一性需要依赖 Ceva 定理的角元形式：${\frac {\sin {\angle {BAO}}}{\sin {\angle {OAC}}}}\cdot {\frac {\sin {\angle {ACO}}}{\sin {\angle {OCB}}}}\cdot {\frac {\sin {\angle {CBO}}}{\sin {\angle {OBA}}}}=1$.

Pappus 定理

该定理的描述为：平面内有两条互异的直线$ABC,DEF$. 联结$AE,BD$交于$L$，联结$AF,CD$交于$M$，联结$BF,CE$交于$N$，则$L,M,N$共线.

这也是 Menelaus 定理的推论. 延长$DB,EC$交于$G$，并设$AF$分别交$DB,EC$于$P, Q$. 注意到在三角形$GPQ$中：

$${\begin{cases}{\frac {GB}{BP}}\cdot {\frac {PA}{AQ}}\cdot {\frac {QC}{CG}}=1\\{\frac {GD}{DP}}\cdot {\frac {PF}{FQ}}\cdot {\frac {QE}{EG}}=1\\{\frac {GD}{DP}}\cdot {\frac {PM}{MQ}}\cdot {\frac {QC}{CG}}=1\\{\frac {GL}{LP}}\cdot {\frac {PA}{AQ}}\cdot {\frac {QE}{EG}}=1\\{\frac {GB}{BP}}\cdot {\frac {PA}{AQ}}\cdot {\frac {QC}{CG}}=1\\{\frac {GB}{BP}}\cdot {\frac {PF}{FQ}}\cdot {\frac {QN}{NG}}=1\end{cases}}$$

因此有${\frac {GL}{LP}}\cdot {\frac {PM}{MQ}}\cdot {\frac {QN}{NG}}=1$，得证. 这是 Pascal 定理的一个退化情况，即当圆锥曲线退化到两条直线时的情况.

Desargues 定理

这是射影几何中极为重要的定理，它在欧氏平面的描述为：平面内有三角形$ABC,A'B'C'$，它们对应边（要求不平行）所在的直线的交点（即$D,E,F$）共线（称之为透视轴（Axis of perspectivity））的充要条件为对应顶点的连线共点（即图中点$O$，称之为透视中心（Center of perspectivity）.

这依旧是 Menelaus 定理的推论，可见其重要性：注意到三角形$OAB$中有${\frac {AD}{DB}}\cdot {\frac {BB'}{B'O}}\cdot {\frac {OA'}{A'A}}=1$，同理有${\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {BB'}{B'O}}\cdot {\frac {OC'}{C'C}}=1,{\frac {AA'}{A'O}}\cdot {\frac {OC'}{C'C}}\cdot {\frac {CF}{FA}}=1$，故而可得${\frac {AD}{DB}}\cdot {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}=1$. 反过来可证明充分性，得证.

Simson 定理

该定理命名自苏格兰数学家 Robert Simson，但实际上由另一位苏格兰数学家 William Wallace 发现. 该定理的描述为：已知三角形$ABC$以及其外接圆上一点$P$，则该点在三边所在的直线的投影共线（即过$P$作三边的垂线，垂足$D,E,F$共线）.

证明方法为证明$\angle {BDE}=\angle {BDF}$. 由题意得$A,B,P,C$四点共圆，并注意到$B,D,P,E$四点共圆，$A,D,P,F$四点共圆，因此有$\angle {BDE}=\angle {BPE},\angle {ADF}=\angle {APF}$，即证$\angle {BPA}=\angle {EPF}$，这仅需注意到$E,P,C,F$四点共圆即可. 反之可以证明其逆定理.

九点圆定理

该定理的描述为：对于三角形$ABC$，记其垂心为$O$，则如下九点共圆：

• 三边的中点$D,E,F$；
• 三条高的垂足$G,H,I$；
• 三个顶点到垂心的连线（即$AO,BO,CO$）的中点$J,K,L$.

证明：易证$DK\parallel JG\parallel FL,DF\parallel KL\parallel GE$（中位线），因此四边形$DKLF,DELJ$都是矩形，进而可证明这六点共圆. 因为$\angle {EGJ}=\angle {ELJ}=90^{\circ }$，故$G$在这个圆上，同理剩下两个垂足也在这个圆上，得证.

參見

• 三角函數
• 勾股弦定理
• 直角三角形
• 正三角形
• 多邊形