三角函數是一系列關於三角形角與邊長之間關係的函數,目前較常用的有正弦(一般寫作)、餘弦(一般寫作)、正切(一般寫作)、餘切(一般寫作)、正割(一般寫作)、餘割(一般寫作)等。
所有的三角函數皆可由和來定義,其中亦可藉由來定義。
定義[]
最樸素的定義是在直角三角形中,稱之爲銳角三角函數,后推廣在單位圓上定義,複變函數下的指數定義也存在,見複三角函數,這一條目主要介紹實數中的三角函數,級數也可提供一種定義方法,多在複變函數中用到。
直角三角形定義[]
一直角三角形如右圖所示,假設由邊和邊所形成的夾角為的話,則六個三角函數的定義如下:
單位圓定義[]
一般可藉由單位圓來擴張三角函數的定義,藉此將三角函數的值擴展至實數域,也正是因為三角函數在單位圓上的定義,因此三角函數才會是一個周期函數,其中。是單位圓的參數,也是極坐標系下的極角。
- 定義正弦,是單位圓上參數對應的點的垂直分量。
- 定義餘弦,是單位圓上參數對應的點的水平分量。
- 定義正切,是射綫与直綫的交點的垂直分量。
- 定義餘切,是射綫与直綫的交點的水平分量。
- 定義正割,是过點的單位圓的切綫的水平截距。
- 定義餘割,是过點的單位圓的切綫的垂直截距。
這裏列出最基本結果,可參見三角積分。
恆等式[]
關於三角函數的基本變換公式、和差角公式、倍半角公式、弦組合公式、積化和差與和差化積公式等詳見三角恆等式。
級數展開[]
是
Bernoulli 數,
是
Euler 數。
嚴格來説,餘切函数和余割函數在原點処沒有定義,不能展開為泰勒級數,但是這裏我們采用的是洛朗級數,考慮了的展開式,然後同時除以。
這些式子的詳細推導見[1]。
極限行爲[]
- 由正弦級數展開式可以得到
- 由餘弦級數展開式可以得到
- 由正切級數展開式可以得到
反三角函數[]
參見反三角函數。
參見[]