三角函数

三角函数是一系列关于三角形角与边长之间关系的函数，目前较常用的有正弦(一般写作 $\sin{x}$ )、余弦(一般写作 $\cos{x}$ )、正切(一般写作 $\tan{x}$ )、余切(一般写作 $\cot{x}$ )、正割(一般写作 $\sec{x}$ )、余割(一般写作 $\csc{x}$ )等。

所有的三角函数皆可由 $\sin{x}$ 和 $\cos{x}$ 来定义，其中 $\cos{x}$ 亦可借由 $\sin{x}$ 来定义。

定义[]

最朴素的定义是在直角三角形中，称之为锐角三角函数，后推广在单位圆上定义，复变函数下的指数定义也存在，见复三角函数，这一条目主要介绍实数中的三角函数，级数也可提供一种定义方法，多在复变函数中用到。

直角三角形定义[]

一直角三角形如右图所示，假设由边 $B$ 和边 $C$ 所形成的夹角为 $x$ 的话，则六个三角函数的定义如下： ${\begin{aligned}\sin {x}={\frac {A}{C}}&\quad &\cos {x}={\frac {B}{C}}\\\tan {x}={\frac {A}{B}}&\quad &\cot {x}={\frac {B}{A}}\\\sec {x}={\frac {C}{B}}&\quad &\csc {x}={\frac {C}{A}}\\\end{aligned}}$

单位圆定义[]

一般可借由单位圆来扩张三角函数的定义，借此将三角函数的值扩展至实数域，也正是因为三角函数在单位圆上的定义，因此三角函数才会是一个周期函数，其中。 $\theta$ 是单位圆的参数，也是极坐标系下的极角。

定义正弦 $\sin \theta$ ，是单位圆上参数 $\theta$ 对应的点 $P$ 的垂直分量。
定义余弦 $\cos \theta$ ，是单位圆上参数 $\theta$ 对应的点 $P$ 的水平分量。
定义正切 $\tan \theta$ ，是射线 $OP$ 与直线 $x=1$ 的交点的垂直分量。
定义余切 $\cot \theta$ ，是射线 $OP$ 与直线 $y=1$ 的交点的水平分量。
定义正割 $\sec \theta$ ，是过点 $P$ 的单位圆的切线的水平截距。
定义余割 $\csc \theta$ ，是过点 $P$ 的单位圆的切线的垂直截距。

导数与积分[]

这里列出最基本结果，可参见三角积分。 ${\displaystyle \begin{align} & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x = \cos x, && \int \sin x \mathrm{d}x = \cos x + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x = \sin x, && \int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x = \sec^2 x, && \int \tan x \mathrm{d}x = - \ln |\cos x| + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot x = - \csc^2 x, && \int \cot x \mathrm{d}x = \ln |\sin x| + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec x = \tan x \sec x, && \int \sec x \mathrm{d}x = \ln |\sec x + \tan x| + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \csc x = - \cot x \csc x, && \int \csc x \mathrm{d}x = \ln |\csc x + \cot x| + C. \\ \end{align}}$

恒等式[]

关于三角函数的基本变换公式、和差角公式、倍半角公式、弦组合公式、积化和差与和差化积公式等详见三角恒等式。

级数展开[]

${\displaystyle \begin{align} \sin x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \forall x \in \C, \\ \cos x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \forall x \in \C, \\ \tan x & = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots && \forall x: |x| < \frac{\pi}{2}, \\ \cot x & = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n-1} &&= \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \cdots && \forall x: 0 < |x| < \pi, \\ \sec x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \cdots && \forall x: |x| < \frac{\pi}{2}, \\ \csc x & = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} B_{2n} (4^n - 2)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} + \frac{31x^5}{15120} + \cdots && \forall x: 0 < |x| < \pi. \\ \end{align}}$ $B_k$ 是 Bernoulli 数， $E_k$ 是 Euler 数。