三角函數

三角函數是一系列關於三角形角與邊長之間關係的函數，目前較常用的有正弦(一般寫作 $\sin{x}$ )、餘弦(一般寫作 $\cos{x}$ )、正切(一般寫作 $\tan{x}$ )、餘切(一般寫作 $\cot{x}$ )、正割(一般寫作 $\sec{x}$ )、餘割(一般寫作 $\csc{x}$ )等。

所有的三角函數皆可由 $\sin{x}$ 和 $\cos{x}$ 來定義，其中 $\cos{x}$ 亦可藉由 $\sin{x}$ 來定義。

定義[]

最樸素的定義是在直角三角形中，稱之爲銳角三角函數，后推廣在單位圓上定義，複變函數下的指數定義也存在，見複三角函數，這一條目主要介紹實數中的三角函數，級數也可提供一種定義方法，多在複變函數中用到。

直角三角形定義[]

一直角三角形如右圖所示，假設由邊 $B$ 和邊 $C$ 所形成的夾角為 $x$ 的話，則六個三角函數的定義如下： ${\begin{aligned}\sin {x}={\frac {A}{C}}&\quad &\cos {x}={\frac {B}{C}}\\\tan {x}={\frac {A}{B}}&\quad &\cot {x}={\frac {B}{A}}\\\sec {x}={\frac {C}{B}}&\quad &\csc {x}={\frac {C}{A}}\\\end{aligned}}$

單位圓定義[]

一般可藉由單位圓來擴張三角函數的定義，藉此將三角函數的值擴展至實數域，也正是因為三角函數在單位圓上的定義，因此三角函數才會是一個周期函數，其中。 $\theta$ 是單位圓的參數，也是極坐標系下的極角。

定義正弦 $\sin \theta$ ，是單位圓上參數 $\theta$ 對應的點 $P$ 的垂直分量。
定義餘弦 $\cos \theta$ ，是單位圓上參數 $\theta$ 對應的點 $P$ 的水平分量。
定義正切 $\tan \theta$ ，是射綫 $OP$ 与直綫 $x=1$ 的交點的垂直分量。
定義餘切 $\cot \theta$ ，是射綫 $OP$ 与直綫 $y=1$ 的交點的水平分量。
定義正割 $\sec \theta$ ，是过點 $P$ 的單位圓的切綫的水平截距。
定義餘割 $\csc \theta$ ，是过點 $P$ 的單位圓的切綫的垂直截距。

導數與積分[]

這裏列出最基本結果，可參見三角積分。 ${\displaystyle \begin{align} & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x = \cos x, && \int \sin x \mathrm{d}x = \cos x + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x = \sin x, && \int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x = \sec^2 x, && \int \tan x \mathrm{d}x = - \ln |\cos x| + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot x = - \csc^2 x, && \int \cot x \mathrm{d}x = \ln |\sin x| + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec x = \tan x \sec x, && \int \sec x \mathrm{d}x = \ln |\sec x + \tan x| + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \csc x = - \cot x \csc x, && \int \csc x \mathrm{d}x = \ln |\csc x + \cot x| + C. \\ \end{align}}$

恆等式[]

關於三角函數的基本變換公式、和差角公式、倍半角公式、弦組合公式、積化和差與和差化積公式等詳見三角恆等式。

級數展開[]

${\displaystyle \begin{align} \sin x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \forall x \in \C, \\ \cos x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \forall x \in \C, \\ \tan x & = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots && \forall x: |x| < \frac{\pi}{2}, \\ \cot x & = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n-1} &&= \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \cdots && \forall x: 0 < |x| < \pi, \\ \sec x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \cdots && \forall x: |x| < \frac{\pi}{2}, \\ \csc x & = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} B_{2n} (4^n - 2)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} + \frac{31x^5}{15120} + \cdots && \forall x: 0 < |x| < \pi. \\ \end{align}}$ $B_k$ 是 Bernoulli 數， $E_k$ 是 Euler 數。