三元一次方程组

定义[]

三元一次方程[]

如果一个方程含有三个未知数，并且所含未知数的次数都为1，这样的整式方程叫做三元一次方程。
一般形式： $ax+by+cz+d=0~(a, b, c \ne 0)$

三元一次方程组[]

由三个一次方程组成，并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。
一般形式： ${\displaystyle \left\{ \begin{aligned} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0, \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0, \\ a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0. \end{aligned} \right. }$

解法及解的情况[]

三元一次方程组与二元一次方程组的解法相同，都是采用消元法。三元一次方程组一般先通过消元消去一个未知数，化为二元一次方程组，通过二元一次方程组求解出两个未知数的值，再代回原方程解出第三个未知数。

例：解方程组 ${\displaystyle \left\{ \begin{aligned} & x+2y+z=7 &(1)\\ & 2x-y+3z=7 &(2) \\ & 3x+y+2z=18 &(3) \end{aligned} \right. }$
解：

$(1)+(2)\times 2$ ，得 $5x+7z=21(4)$ 。
$(2)+(3)$ ，得 $5x+5z=25$ ，即 $x+z=5(5)$ 。
联立(4)和(5)，得二元一次方程组 ${\displaystyle \left\{ \begin{aligned} & 5x+7z=21 \\ & x+z=5 \end{aligned} \right. }$ 。
解二元一次方程组，得 ${\displaystyle \left\{ \begin{aligned} & x=7 \\ & z=-2 \end{aligned} \right. }$ 。
把 $x=7,z=-2$ 代入(1)，解得 $y=1$ 。
所以方程组的解为 ${\displaystyle \left\{ \begin{aligned} & x=7 \\ & y=1 \\ & z=-2 \end{aligned} \right. }$ 。

三元一次方程解的情况与通过消元得到的二元一次方程组解的情况相同。

三元一次方程与平面[]

空间直角坐标系中的平面（解析几何）方程属于三元一次方程，三元一次方程组的解情况与平面的位置关系有如下对应关系：

三元一次方程组解的情况	三个平面的位置关系
唯一解	三个平面相交于一点
无数组解	三个平面过同一条直线（包括重合的情况）
无解	三个平面中存在互相平行的平面

线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵	矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式	Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论	向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组	Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间	线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换	线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型	相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论	二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
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