一阶齐次微分方程

一次齐次微分方程是一种特殊的常微分方程，可化为此类的方程均可解。

齐次概念

如果一个函数$f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in S \subseteq \R^n$满足

$$\exists n \in \N^+, \forall t \forall \boldsymbol{x}, f(t\boldsymbol{x}) = t^n f(\boldsymbol{x})$$

我们就说函数$f$是一个$n$次齐次的函数。

本页面讨论$f$是一次齐次的函数，如果一个一阶常微分方程可以写作

$$y' = f\left(\dfrac{y}{x}\right) \quad \text{or} \quad F\left(y', \dfrac{y}{x}\right) = 0.$$

我们就说这样的方程是（一次）齐次微分方程。

解法

情形1：可分离一阶导数

对于一个形如下式的方程

$$y' = f\left(\dfrac{y}{x}\right)$$

我们做变量代换$u = \dfrac{y}{x}$，于是有

$$y' = (ux)' = u'x + u = f(u)$$

进而分离变量，得

$$\dfrac{\mathrm{d}u}{f(u) - u} = \dfrac{\mathrm{d}x}{x}$$

积分，得

$$\int \dfrac{\mathrm{d}u}{f(u) - u} = \ln |x| + C.$$

回代$u$，这样就可以解出原方程了。

情形2：不可分离一阶导数

对于一个形如下式的方程

$$F\left(y', \dfrac{y}{x}\right) = 0$$

当$y'$连续且不为零时，可以使用下面的方法求出解的参数表示：

首先，找到所有满足$F(\varphi(u), \psi(u)) \equiv 0$的连续函数$\varphi(u)$和连续可微函数$\psi(u)$，且满足$\varphi \ne \psi, \varphi' \ne 0.$那么显然有

$$y' = \varphi(u), \quad y = x \psi(u)$$

于是

$$y' = (x \psi (u))' = \psi(u) + x \psi'(u)u' = \varphi(u)$$

分离变量，有

$$\dfrac{\psi'(u)\mathrm{d}u}{\varphi(u) - \psi(u)} = \dfrac{\mathrm{d}x}{x}$$

积分，有

$$\int \dfrac{\psi'(u)\mathrm{d}u}{\varphi(u) - \psi(u)} = \ln |x| + C_0$$

于是原方程的参数形式的解就是

$$\begin{cases} x = \exp \displaystyle{\int} \dfrac{\psi'(u)\mathrm{d}u}{\varphi(u) - \psi(u)}, \\ y = \psi(u) \exp \displaystyle{\int} \dfrac{\psi'(u)\mathrm{d}u}{\varphi(u) - \psi(u)}. \end{cases}$$

可化为上述形式的方程

情形3$: y' = \dfrac{y}{x} + g(x) f\left(\dfrac{y}{x}\right)$（特例）

对于

$$y' = \dfrac{y}{x} + g(x) f\left(\dfrac{y}{x}\right)$$

做变量代换$u = \dfrac{y}{x}$后有

$$xu' = f(u)g(x)$$

分离变量，有

$$\dfrac{\mathrm{d}u}{f(u)} = \dfrac{g(x)}{x} \mathrm{d}x$$

两侧积分即可。

情形4

形如

$$\left[ f\left(\dfrac{y}{x}\right) + x^\alpha h\left(\dfrac{y}{x}\right) \right] y' = g\left( \dfrac{y}{x} \right) + yx^{\alpha-1}h\left(\dfrac{y}{x}\right)$$

的方程，做变量代换$u = \dfrac{y}{x}$后将$u$取作自变量就得到 Bernoulli 方程

$$\Big(g(u) - uf(u)\Big) \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = xf(u) + x^{\alpha+1}h(u).$$

情形5$: P(x, y) y' = Q(x, y)$（推广）

设$P(x, y), Q(x, y)$都是$n$次齐次函数，对于

$$P(x, y) y' = Q(x, y)$$

同时除以方程中$x$的最高次幂，并两端同时除以多项式$P\left(1, \dfrac{y}{x}\right)$，就化为了情形1.

情形6：Darboux 方程

形如

$$[P(x, y) + x R(x, y)] y' = Q(x, y) + y R(x, y)$$

的方程称为 Darboux 方程。其中，$P, Q, R$是齐次多项式，且$P, Q$是同次的，如果用$P$中的$x$的最高次幂来除整个方程，就化为了我们讨论过的类型。

上下节

• 上一节：Bernoulli 方程
• 下一节：一阶广义齐次方程

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.