一阶隐式常微分方程

一阶隐式常微分方程是具有如下形式的微分方程

$$F(x,y,y')=0.$$

其中，$y$是变量$x$的函数。

一般来说，如果我们可以解出未知函数的一阶导数$y'$，即有形式$y' = f(x, y)$，我们可以使用之前的方法解决，但是有时不易解出或根本解不出一阶导数，因此我们需要讨论一般形式的可解问题。

我们主要关注以下四种特殊情况

$$\begin{matrix} 1. ~y = f(x, y'), & 2. ~x = f(y, y'), \\ 3. ~F(x, y') = 0, & 4. ~F(y, y') = 0. \\ \end{matrix}$$

情形1$:y = f(x, y')$

这是可解出自变量显式的情形，它有形式

$$y=f(x,y')$$

设$f$有连续的一阶偏导数，做变量代换$p(x) = y'(x)$，于是在$y = f(x, p)$两边同时对$x$求偏导，有

$$y_x = f_x + f_p p_x = p$$

进而

$$p_{x}={\dfrac {p-f_{x}}{f_{p}}}$$

这是已解出一阶导数的方程，可以使用之前的方法尝试解决，得到它的通解，进而得到原方程的通解

1. 若#Eq1'的通解为$p = g_1 (x, c)$，则#Eq1的通解为$y = f(x, g_1(x, c));$
2. 若#Eq1'的通解为$x = g_2 (p, c)$，则#Eq1的通解为$\begin{cases}x = g_2(p, c), \\ y = f(g_2(p, c), p); \end{cases}$
3. 若#Eq1'的通解为$G(x, p, c) = 0$，则#Eq1的通解为$\begin{cases}G(x, p, c) = 0, \\ y = f(x, p). \end{cases}$

情形2$:x = f(y, y')$

这是可解出因变量显式的情形，它有形式

$$x=f(y,y')$$

设$f$有连续的一阶偏导数，做变量代换$p(y) = y'$，于是在$x = f(y, p)$两边同时对$y$求偏导，有

$$x_y = f_y + f_p p_y = p^{-1}$$

进而

$$p_{y}={\dfrac {p^{-1}-f_{y}}{f_{p}}}$$

这是已解出一阶导数的方程，可以使用之前的方法尝试解决，得到它的通解，进而得到原方程的通解

1. 若#Eq2'的通解为$p = g_1 (y, c)$，则#Eq2的通解为$y - f(y, g_1(y, c)) = 0;$
2. 若#Eq2'的通解为$y = g_2 (p, c)$，则#Eq2的通解为$\begin{cases}x = f(g_2(p, c), p), \\ y = g_2(p, c); \end{cases}$
3. 若#Eq2'的通解为$G(y, p, c) = 0$，则#Eq2的通解为$\begin{cases}x = f(y, p), \\ G(y, p, c) = 0. \end{cases}$

情形3$:F(x, y') = 0$

这是不显含因变量的隐式情形，它有形式

$$F(x,y')=0$$

设$F$有连续的一阶偏导数，做变量代换$p(x) = y'(x)$，将$F(x, p) = 0$表示为适当的参数形式

$$\begin{cases} x = \varphi(t), \\ p = \psi(t), \end{cases} \quad t \in I.$$

由$\mathrm{d}y = p \mathrm{d}x$得

$$\mathrm{d}y = \psi(t) \varphi'(t) \mathrm{d}t$$

两边积分，得

$$y = \int \psi(t) \varphi'(t) \mathrm{d}t + C$$

于是得到方程#Eq3的通解为

$$\begin{cases} x = \varphi(t), \\ y = \displaystyle{\int} \psi(t) \varphi'(t) \mathrm{d}t + C, \end{cases} \quad t \in I.$$

情形4$:F(y, y') = 0$

这是不显含自变量的隐式情形，它有形式

$$F(y,y')=0.$$

设$F$有连续的一阶偏导数，做变量代换$p(x) = y'(x)$，将$F(y, p) = 0$表示为适当的参数形式

$$\begin{cases} y = \varphi(t), \\ p = \psi(t), \end{cases} \quad t \in I.$$

由$\mathrm{d}y = p \mathrm{d}x$得

$$\varphi'(t) \mathrm{d}t = \psi(t) \mathrm{d}x$$

于是有

$$x = \int \dfrac{\varphi'(t)}{\psi(t)} \mathrm{d}t + C$$

进而得到方程#eq4的通解为

$$\begin{cases} y = \varphi(t), \\ x = \displaystyle{\int} \dfrac{\varphi'(t)}{\psi(t)} \mathrm{d}t + C, \end{cases} \quad t \in I.$$

上下节

• 上一节：恰当微分方程
• 下一节：一阶常微分方程的一般理论问题

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.