一阶广义齐次方程

一阶广义齐次方程是一阶齐次微分方程的推广，这一类常微分方程经过适当的变量代换可以化为变量分离方程。

概念

称三元函数$P(u, v ,w)$是广义齐次的，如果存在不全为零的实数$k, r$，表达式$P(x^{k-r}, x^k, x^r)$中的各项具有相同的次数。

如果一个一阶常微分方程有形式

$$P(y', y, x) = 0$$

其中，$P$是一个广义齐次多项式，那么这个方程就称作一阶广义齐次方程。

解法

如果$r \ne 0$，我们就限定$r=1$，那么做变量代换$v(x) = \ln |x|, u(v) = y |x|^{-k}$，则化为不显含$v$的方程；如果$r = 0$，做变量代换$u = \dfrac{y'}{y}$，原方程化为关于$u$的代数方程，解出这个方程之后再解可分离变量方程$y' = uy$即可。

特例$xy' = yf(xy)$

形如$xy' = yf(xy)$（$f(1)$有定义）的方程是一类特殊的一阶广义齐次方程，验证：

$$P(y', y, x) = y'x - yf(xy) = 0$$

于是

$$P(x^{k-r}, x^k, x^r) = x^k - x^k f(x^{k+r}) = 0$$

当$k + r = 0$时上述等式左侧两项次数相等，假设$- k = r = 1$，做变量代换$u = xy$，有

$$u' = y+xy' = \dfrac{u}{x}(1+f(u))$$

当$f(u) \ne -1$时分离变量，有

$$\dfrac{\mathrm{d}u}{u + uf(u)} = \dfrac{\mathrm{d}x}{x}$$

积分，有

$$\int \dfrac{\mathrm{d}u}{u + uf(u)} = \ln |x| + C$$

此外还需考虑$f(u) = -1$是否为原方程的解，此时$xy' + y = (xy)' = 0$，即$xy = C$，但要要求$f(u)$在$u = 1$处有定义，故$xy = 1$。

由于上述特例比较容易，省去了代换$v(x) = \ln |x|$的操作。

此方法有时也可适用于其它情形，例如，对方程$x^2y' = \text{e}^{xy}$做变量代换$v(x) = \ln |x|, u(v) = xy$可化为$u' - u = \text{e}^u.$

上下节

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