一般螺线

三维空间中的一般螺线是圆柱螺线的推广，它是曲率和挠率成定比的曲线，也是切线和某个常向量成定角的曲线。

定义

假设有弧长参数曲线$\boldsymbol{r}(s)$，它的切线记作${\boldsymbol {t}}(s)$，如果存在常向量$\boldsymbol{c}$使得$({\boldsymbol {t}}(s),{\boldsymbol {c}})$恒为常数，我们就称$\boldsymbol{r}(s)$是一般螺线。$\boldsymbol{c}$所在的方向称为是这个螺线是轴。

定义中限定曲线是弧长参数化曲线只是为了分析和计算方便，这个条件不是必要的。

根据这个定义，圆柱螺线${\boldsymbol {r}}(s)=\left(a\cos {\dfrac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},a\sin {\dfrac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\dfrac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)$是一般螺线，它的轴是z轴。

等价刻画

一个弧长参数化曲线$\boldsymbol{r}(s)$是一般螺线当且仅当存在常数$c\in\R$满足$\tau (s)=c\kappa (s)$。

实际上，由 Frenet 标架运动公式${\boldsymbol {t}}'(s)=\kappa (s){\boldsymbol {n}}(s)$以及${\boldsymbol {b}}'(s)=-\tau (s){\boldsymbol {n}}(s)$得到${\boldsymbol {b}}'(s)=-c{\boldsymbol {t}}'(s)$，积分得到 $${\boldsymbol {b}}(s)=-c{\boldsymbol {t}}(s)+{\boldsymbol {c}}_{0}.$$ 于是 $$({\boldsymbol {t}}(s),{\boldsymbol {c}}_{0})=c.$$ 这就回到了一般螺线的定义。

显式求解

偶们使用上一小节给出的等价刻画来求解曲线的弧长参数化表达式，如果$c = 0$，那么这就是一个平面曲线，这就归结于根据已知（绝对）曲率求解平面曲线的参数表达，参见曲率#已知曲率求解曲线具体表达式，下面我们假设$c \ne 0$。

由 Frenet 公式，有 $${\begin{cases}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {t}}}{ds}}=\kappa {\boldsymbol {n}}\\{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {n}}}{ds}}=-\kappa {\boldsymbol {t}}+\tau {\boldsymbol {b}}\\{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {b}}}{ds}}=-\tau {\boldsymbol {n}}\end{cases}}$$ 作容许的参数变换$\theta (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)\mathrm {d} s$. 则$\mathrm {d} \theta =\kappa (s)\mathrm {d} s$，上述方程组可以改写为 $${\begin{cases}{\frac {d{\boldsymbol {t}}(\theta )}{d\theta }}={\boldsymbol {n}}(\theta )\\{\frac {d{\boldsymbol {n}}(\theta )}{d\theta }}=-{\boldsymbol {t}}(\theta )+c{\boldsymbol {b}}(\theta )\\{\frac {d{\boldsymbol {b}}(\theta )}{d\theta }}=-c{\boldsymbol {n}}(\theta )\end{cases}}$$ 由此得到 $${\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {n}}(\theta )}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-a^{2}{\boldsymbol {n}}(\theta )$$ 其中$a={\sqrt {1+c^{2}}}$。由常微分方程理论，此方程有通解 $${\boldsymbol {n}}(\theta )=\cos a\theta {\boldsymbol {e}}_{1}+\sin a\theta {\boldsymbol {e}}_{2},$$ 其中$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$是常向量。从而可以解出上述方程组中的第一式，得 $${\boldsymbol {t}}(\theta )={\frac {1}{a}}\left(\sin a\theta {\boldsymbol {e}}_{1}-\cos a\theta {\boldsymbol {e}}_{2}+c{\boldsymbol {e}}_{3}\right).$$ 其中$\mathrm {e} _{3}$是常向量。由上述方程组中的第二式，有 $${\boldsymbol {b}}(\theta )=-{\frac {c}{a}}\left(\sin a\theta {\boldsymbol {e}}_{1}-\cos a\theta {\boldsymbol {e}}_{2}\right)+{\frac {1}{a}}{\boldsymbol {e}}_{3}.$$ 由于$s=0$时（即$\theta (0)=0$时）Frenet 标架$\{{\boldsymbol {r}}(0);{\boldsymbol {t}}(0),{\boldsymbol {n}}(0),{\boldsymbol {b}}(0)\}$是右手系的且单位正交，而易知 $${\begin{pmatrix}{\boldsymbol {t}}(0)\\{\boldsymbol {n}}(0)\\{\boldsymbol {b}}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {1}{a}}&{\frac {c}{a}}\\1&0&0\\0&{\frac {c}{a}}&{\frac {1}{a}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}\end{pmatrix}}$$ 其中的三阶矩阵是行列式为 1 的正交矩阵。因须选取$\left\{{\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2},{\boldsymbol {e}}_{3}\right\}$为右手系且单位正交. 最后, 由${\frac {\mathrm {d} \mathrm {r} (s)}{\mathrm {d} s}}=\mathrm {t} (s)$得到所要求的弧长参数曲线： $${\begin{aligned}{\boldsymbol {r}}(\theta )&={\frac {1}{a}}\left(\int _{0}^{s}\sin(a\theta (t))\mathrm {d} t{\boldsymbol {e}}_{1}-\int _{0}^{s}\cos(a\theta (t))\mathrm {d} t{\boldsymbol {e}}_{2}+cs{\boldsymbol {e}}_{3}\right)+{\boldsymbol {v}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1+c^{2}}}}\left(\int _{0}^{s}\sin({\sqrt {1+c^{2}}}\int _{0}^{t}\kappa (u)\mathrm {d} u)\mathrm {d} t{\boldsymbol {e}}_{1}-\int _{0}^{s}\cos({\sqrt {1+c^{2}}}\int _{0}^{t}\kappa (u)\mathrm {d} u)\mathrm {d} t{\boldsymbol {e}}_{2}+cs{\boldsymbol {e}}_{3}\right)+{\boldsymbol {v}}\\\end{aligned}}$$ 其中$\boldsymbol{v}$是常向量。