一致连续

一致连续，又称均匀连续（uniformly continuous），为数学分析的专有名词，连续性定义中 $\delta$ 依赖于给定的 $x_0$ 以及 $\varepsilon$，如果 $\delta$ 对于区间内任意给定的两点都适用，那这样的连续性就具有比之前更好的性质（换言之，更强的性质），我们就把这种连续性称为一致连续。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。

定义

定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$，如果 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，使得 $\forall x_1, x_2 \in I$，当 $| x_1 - x_2 | < \delta$ 时有 $| f(x_1) - f(x_2) | < \varepsilon$，就称函数 $f(x)$ 一致连续于区间 $I$。

由此，我们可以写出不一致连续的定义：定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$，如果 $\exists \varepsilon_0 > 0, \forall \delta > 0$，使得 $\forall x_1, x_2 \in I$，当 $| x_1 - x_2 | < \delta$ 时有 $| f(x_1) - f(x_2) | > \varepsilon_0$，就称函数 $f(x)$ 不一致连续于区间 $I$。

典例

我们来考察函数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在区间 $(0, c]$ 以及 $[c, + \infty)$ $(c > 0)$的情形。

在区间 $(0, c]$ 上：存在一个邻域 $U(x_0; \delta')$ 使得 $\forall x \in U(x_0; \delta')$ 有 $x > \dfrac{x_0}{2}.$
所以有 $| f(x) - f(x_0) | = | \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x_0} | = \left| \dfrac{x_0 - x}{x_0 x} \right| < \dfrac{ | x_0 - x | }{x_0 \cdot \dfrac{x_0}{2}} = 2 \dfrac{x_0 - x}{x_0^2}.$
$\forall \varepsilon>0$，取 $\delta = \min \left\{ \dfrac{x_0^2 \varepsilon}{2}, \delta' \right\}$，就有 $| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon.$
进而函数 $f(x)$ 连续于区间 $(0, c]$。
但是，这里的 $\delta$ 依赖于 $\varepsilon$ 和 $x_0$，并且由于区间内 $x_0$ 不可能有最小的正值，所以 $\delta$ 也不可能取到最小的正数，进而不存在可在 $(0, c]$ 中都适用的 $\delta$，所以在 $(0, c]$ 上不一致连续。

在区间 $[c, + \infty)$ 上的情况有些不同。
存在一个邻域 $U(x_0; \delta')$ 使得 $| f(x) - f(x_0) | = | \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x_0} | = \left| \dfrac{x_0 - x}{x_0 x} \right| < \dfrac{ | x_0 - x | }{c^2}.$
$\forall \varepsilon>0$，取 $\delta = c^2 \varepsilon$，就有 $| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon.$
进而函数 $f(x)$ 连续于区间 $[c, + \infty)$，这个 $\delta$ 对区间内所有的点都通用，所以函数一致连续于区间 $[c, + \infty)$。

几何解释

通俗的讲，就是当自变量任意两点之间的距离小于某个比较小的数，那么对应的函数值也会变化得比较小，函数值的变化不能十分大（不能无限制的大）。为了便于理解一致连续和连续的不同，我们通过几何直观粗略地说明一致连续的几何意义：一条一致连续的曲线，可以用一系列宽（垂直于 $x$ 轴的边）为 $2 \varepsilon$，长（平行于 $x$ 轴的边）为 $\delta$（随着 $\varepsilon$ 的变化而变化）且与 $x$ 轴平行的小矩形来覆盖（这里所说的覆盖指，函数的图像仅和矩形垂直于 $x$ 轴的边相交）它。

反比例函数的一致连续性几何解释

仍以函数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 为例，如果我们取定 $\delta = 3$，$\varepsilon = \dfrac{3}{8}$，那么当矩形在直线 $x=1$ 右侧时可以覆盖图像，如图中的矩形 $A_1 B_1 C_1 D_1$，这样的一个 $\delta$ 就是在区间 $[1, + \infty)$ 上的一个通用 $\delta$（当然不唯一，它未必就是最小的），但这个矩形不能再向左侧移动了，矩形 $ABCD$ 的位置就是 $\delta$ 能够适用的极限位置，向左移动就必须缩小 $\delta$ 的值，使它能重新覆盖曲线，如果我们移动到 $x = \dfrac{1}{2}$ 的位置，缩小后的 $\delta' = \dfrac{1}{4}$ 可以从新位置（矩形 $A_2 B_2 C_2 D_2$）出发向右移动，依然总能覆盖曲线，因此在区间 $[\dfrac{1}{2}, + \infty)$ 上一致连续。

但是，当矩形不断接近 $x = 0$ 时，我们能找到的 $\delta$ 就无限制地缩小，当矩形已经几乎紧贴 $x = 0$ 时我们就找不到这样的正数 $\delta$ 了，换言之，就是说当两个靠近原点的自变量的值十分接近时，函数值的差就变得很大，所以函数就不一致连续了。

Cantor 一致连续性定理

我们知道，对于一般的函数，如果连续但不一定不一致连续，问题主要出现在开区间端点上，由于这个端点是无穷间断点，所以才找不到一个通用的正数 $\delta$，如果是闭区间，那么我们就可推得连续和一致连续是等价的。因此有以下定理：

连续于闭区间 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$ 必一致连续于 $[a, b]$。

Lipschitz 连续

一类特殊的一致连续类型是 Lipschitz 连续，它有着比一致连续更强的条件。

定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$，如果 $\exists L \in \mathbb{R}$，$\forall x_1, x_2 \in I$ 都有 $| f(x_1) - f(x_2) | \leqslant L |x_1 - x_2|$，那么就称这个函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上 Lipschitz 连续。

等价刻画

函数区间$f(x)$在$I$上一致收敛的概念等价于

1. $f(x)$将$I$中的任意收敛数列映成收敛数列；
2. 对于区间$I$中的任意数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}$，只要$\lim_{n \to \infty} | a_n - b_n | = 0$，就有$\lim_{n \to \infty} | f(a_n) - f(b_n) | = 0.$
3. 存在$\delta_0 > 0$和定义在区间$[0, \delta_0]$上的非负单增函数$\omega$，它在$0$点连续且$\omega(0) = 0$，使对任意的$x, y, \in I$，只要$|x - y| \leqslant \delta_0$，就有
   $$|f(x) - f(y)| \leqslant \omega |x - y|.$$
   其中$\omega$也叫做$f(x)$的一致连续模。

其它性质

1. 若$\R$上的有界函数$f$满足$\lim_{h \to 0} \sup_{x \in \R} |f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)| = 0$，那么$f$一致连续。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
2. 崔尚斌, 《数学分析教程（上）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6805-8.