一致收敛拓扑

一致收敛拓扑是拓扑空间到一个度量空间的连续映射全体构成的拓扑空间上赋予的一种拓扑，它和连续映射序列的一致收敛性有关故名一致收敛度量。

定义

假设$X$是非空集合，$(Y, \rho)$是度量空间，对$X$到$Y$的映射全体$Y^X$构成的集族定义如下二元非负函数$\bar{\rho}: Y^X \times Y^X \to \R$：

$$\bar{\rho}(f, g) = \begin{cases} 1, & \exists x \in X, \rho(f(x), g(x)) \geqslant 1, \\ \displaystyle{\sup_{x \in X} \rho(f(x), g(x))}, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

可以验证$\bar \rho$是一个度量，因此$(Y^X, \bar{\rho})$是一个度量空间，我们称$\bar \rho$为一致收敛度量，其诱导的拓扑是一致收敛拓扑。

特别地，$C(X, Y)$可以配上$\bar \rho$诱导的度量，称为一致收敛拓扑决定的连续函数空间。

一致收敛

假设$X$是非空集合，$(Y, \rho)$是度量空间，$\bar \rho$由上定义，我们称$\{ f_n \} \subset Y^X$一致收敛到$f \in Y^X$是指：对任意$\varepsilon > 0$存在$N \in \N$使得$n > N$时对任意的$x \in X$成立

$$\rho(f_n(x), f(x)) < \varepsilon.$$

一致性体现在对$x \in X$一致上。

下面的定理是我们称$\bar \rho$是一致收敛度量的缘由：

假设$X$是非空集合，$(Y, \rho)$是度量空间，$\bar \rho$由上定义，$\{ f_n \} \subset Y^X$收敛到$f \in Y^X$当且仅当$\{ f_n \} \subset Y^X$一致收敛到$f \in Y^X$。

如果$Y$完备，那么$(Y^X, \bar{\rho})$也完备。如果$X$是拓扑空间，那么$(C(X, Y), \bar{\rho})$是闭的，从而是完备的。

一致范数

一致范数是衡量函数之间一致差距的一个概念，它当然和一致收敛度量有关。下面我们考虑$Y = \R$的情形。

$f: X \to \R$的一致范数定义为

$$\| f \|_u := \sup_{x \in X} |f(x)|.$$

两个函数$f, g: X \to \R$之间的一致距离定义为$\| f - g \|_u.$函数序列$\{ f_n \} \subset \R^X$有一致极限是指存在$f: X \to \R$使得$\| f_n - f \|_u \to 0.$这自然等价于$\{ f_n \}$一致收敛。

一致范数和一致收敛度量的区别在于：一致收敛度量不会关注$f, g$很远的时候的形态，但是一致范数注意到了这种区别，这会导致一致范数可能取到$+\infty$而不再是真正的“范数”，但是一致收敛度量始终是有界的。不过我们考察一致极限的时候，这两个含义是一样的——因为我们只注重$\| f_n - f \|_u < \varepsilon < 1$的情况。

$S \subset \R^X$的一致闭包就是指它在上面定义的一致距离下的拓扑闭包，即收集所有$S$中函数序列的一致极限全体。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.