一致收敛

在函数项级数理论中，函数项级数的一致收敛是一个重要的概念。对于一个函数项级数，仅凭收敛这一个条件，就算函数项级数中每个函数都是连续的，也不能推出和函数的连续性，这时需要引入一致收敛的概念。

定义

设函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$，若对任意的$\varepsilon > 0$以及$x \in X$，存在仅和$\varepsilon$有关的常数$N(\varepsilon) \in \N^+$，使得当$n > N$时恒有 $|S_n(x) - S(x)| < \varepsilon$ 成立，我们就说函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$X$上一致收敛于$S(x)$，此外，这个定义还有如下等价表述：

$$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in X} |S_n(x) - S(x)| = 0$$

上式是说，先固定$n$，求有关$x$的函数$|S_n (x) - S(x)|$在$X$上的上界，然后得到一个数列，如果这个数列是一个无穷小数列，就说原函数列一致收敛。

一致收敛中的“一致”，从定义中来看是说常数$N$的选择不依赖于$x$，所有的$x$表现的行为有“一致性”，这样可以在区间上利用$N$对函数项级数做整体把握，因此一致收敛是一个整体性质，而收敛性质是局部性质。

对于函数列的情形，详见这里。

Cauchy 收敛准则

函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$X$上一致收敛的 Cauchy 充要条件是说：对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时都有

$$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k (x) \right| < \varepsilon \quad \forall p \in \N^+, \forall x \in X.$$

对于函数列的情形，函数列$\{ f_n (x) \}_{n=1}^\infty$在$X$上一致收敛的 Cauchy 充要条件是说：对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时都有

$$\left| f_{n+p} (x) - f_n (x) \right| < \varepsilon \quad \forall p \in \N^+, \forall x \in X.$$

一致收敛判别法

Weierstrass 判别法

也称 M 判别法，如果函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$满足对充分大的$n$，存在收敛的数项级数$\sum_{n=1}^\infty M_n$收敛，使得$|u_n (x)| \leqslant M_n, \forall x \in X$，那么可得在$X$上函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$一致收敛。通俗地说，就是一个函数项级数可以被一个收敛的正项级数所控制。

对于函数列的情形，如果函数列$\{ f_n (x) \}_{n=1}^\infty$满足对充分大的$n$，存在收敛的数项级数$\sum_{n=1}^\infty M_n$收敛，使得$|f_{n+1} (x) - f_n (x)| \leqslant M_n, \forall x \in X$，那么可得在$X$上函数列$\{ f_n (x) \}_{n=1}^\infty$一致收敛。

Dirichlet 判别法

如果函数项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n(x) b_n(x)$满足：

1. 固定$x_0 \in X$，数列$a_n(x)$单调，函数列$\{ a_n (x) \}_{n=1}^\infty$在$X$上一致收敛于零；
2. 函数项级数$\sum_{n=1}^\infty b_n(x)$的部分和$B_n (x) = \sum_{k=1}^n b_k(x)$在$X$上一致有界。

就可得函数项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n(x) b_n(x)$在$X$上一致收敛。

Abel 判别法

如果函数项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n(x) b_n(x)$满足：

1. 固定$x_0 \in X$，数列$a_n(x)$单调，函数列$\{ a_n (x) \}_{n=1}^\infty$在$X$上一致有界；
2. 函数项级数$\sum_{n=1}^\infty b_n(x)$在$X$上一致收敛。

就可得函数项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n(x) b_n(x)$在$X$上一致收敛。

一致收敛的性质

以下均以函数项级数为例，它们不难推广到函数列中去。

和的连续性

函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$[a, b]$上一致收敛，且每一项$u_n (x)$在$[a, b]$上连续，那么这个级数的和函数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$[a, b]$上连续，即求和可以和求极限交换次序：

$$\lim_{x \to x_0} \sum_{n=1}^\infty u_n(x) = \sum_{n=1}^\infty \lim_{x \to x_0} u_n(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x_0).$$

这个性质是最为判定函数项级数一致收敛的必要条件，如果一个连续函数项级数的和函数不连续，那么它一定不是一致连续的。

逐项求积

函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$[a, b]$上一致收敛，且每一项$u_n (x)$在$[a, b]$上连续，那么求和可以和求积分交换次序：

$$\sum_{n=1}^\infty \int_a^b u_n(x) \mathrm{d}x = \int_a^b \sum_{n=1}^\infty u_n(x) \mathrm{d}x.$$

逐项求导

函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$[a, b]$上一致收敛，且每一项$u_n (x)$在$[a, b]$上连续可导，那么求和可以和求积分交换次序：

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sum_{n=1}^\infty u_n(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} u_n(x).$$

上下节

• 上一节：函数项级数
• 下一节：幂级数

  参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.