一致凸空間

一致凸空間（uniformly convex space）是一種具備了凸性的賦范線性空間，其上的範數拓撲決定了該空間中的凸性質。該空間最早由 James A. Clarkson 於1936年提出。我們常見的很多函數空間，例如 Hilbert 空間，$L^p$空間（$1 < p < +\infty$）都是一致凸的。

定義

賦范線性空間$X$中的範數$\| \cdot \|$稱為是一致凸的（uniformly convex），是指：對任意$0 < \varepsilon \leqslant 2$，存在正數$\delta > 0$使得

如果$x,y \in X$滿足$\| x \| = \| y \| = 1, \| x - y \| \geqslant \varepsilon$

那麼$\left\| \dfrac{x+y}{2} \right\| \leqslant 1 - \delta.$

此時我們也稱賦范線性空間$X$是一致凸空間。 一些評註：

1. 一個賦范線性空間上可能有很多等價範數，可能存在這樣的情況：某個範數是一致凸的，但存在另外的非一致凸範數。因此一致凸性僅僅是範數的性質。只要該空間有一個一致凸範數，那麼這個空間就稱為一致凸空間。但是範數的性質卻可以決定某些空間自身的性質，例如自反性（Milman-Pettis 定理表明一致凸空間是自反的）。
2. 上述定義中的條件$\| x \| = \| y \| = 1$可以弱化為$\| x \|, \| y \| \leqslant 1.$
3. 一致凸性是比局部凸性更強的條件，任何賦范線性空間都是局部凸的，但不一定是一致凸的。進一步一致凸性比嚴格凸性的條件更強，形象地說，嚴格凸性要求$X$中的單位球上成立更強的三角不等式
   $$\| x+y \| < \| x \| + \| y \| \iff x, y~\text{are linear independent.}$$
   而一致凸性要求該不等式一致地成立。存在着嚴格凸但不是一致凸的空間，甚至是自反的，參見這裏。
4. Hilbert 空間是一致凸的 Banach 空間，僅需注意到平行四邊形恆等式即可，$L^p$空間當$1 < p < +\infty$時是一致凸的，證明主要用到 Clarkson 不等式。
5. 在一個一致凸空間$X$中，如果有序列$\{ x_n \} \subset X$以及$x \in X$滿足$\| x_n \| \leqslant 1, \| x \| \leqslant 1$，$\lim_{n \to \infty} \| x_n + x \| = 2$，那麼$\{ x_n \}$強收斂到$x$，實際上對任意$\varepsilon > 0$我們要證明存在$n \in \N$使得$\| x_n - x \| < \varepsilon$，由一致凸的定義，我們只需要找到$\| x_n + x \| > 2(1-\delta)$的$x_n$即可，然而注意到$\| x_n + x \| \to 2$因此對$2\delta > 0$存在$N \in \N$使得$2 - \| x_n + x \| < 2\delta.$
6. 進一步，我們可以證明，$X$一致凸當且僅當對任意$\{ x_n \}, \{ y_n \} \in X, \| x_n \|, \| y_n \| \leqslant 1$，如果$\| x_n + y_n \| \to 2$，我們有$\| x_n - y_n \| \to 0.$
7. 一致凸的 Banach 空間$X$中的一個完備閉子空間$X_0$是一致凸的，因此一致凸性是可繼承的性質。

一致凸模

為了更精確的描述一致凸性，我們可以引入凸模的概念：

對於一個賦范線性空間$X$，定義其中的凸模（modulus of convexity）：

$$\delta_X(\varepsilon) = \inf\left\{ 1 - \dfrac{\| x+y \|}{2}: \| x \| = \| y \| = 1, \| x - y \| \geqslant \varepsilon \right\}.$$

我們有如下命題：

賦范線性空間$X$是一致凸的當且僅當其凸模$\delta_X(\varepsilon) > 0, \forall \varepsilon \in (0, 2].$

凸模和一致凸空間定義中的$\varepsilon\text{-}\delta$表述類似於復值函數的連續模和連續性定義的$\varepsilon\text{-}\delta$表述。例如$L^p$空間的凸模是

$$\begin{cases} \delta_p(\varepsilon) = \dfrac{\varepsilon^p}{p2^p} + o(\varepsilon^p), & \qquad 2 \leqslant p < +\infty, \\ \delta_p(\varepsilon) = \dfrac{(p-1)\varepsilon^2}{8} + o(\varepsilon^2),& \qquad 1 < p \leqslant 2. \end{cases}$$

共軛性質

為了通過共軛的方法研究賦范線性空間的一致凸性, 我們引入光滑模的概念：

假設有賦范線性空間$X$，定義如下函數為$X$的光滑模（modulus of smoothness）：

$$\rho_X(\tau) = \sup \left\{ \dfrac{\| x+y \| + \| x-y \|}{2} - 1: x, y \in X, \| x \| = 1, \| y \| = \tau \right\}.$$

可以證明：共軛空間的光滑模可以用原空間的凸模表達。

假設$X$是賦范線性空間，那麼其共軛空間$X^*$中的光滑模有表達式

$$\rho_{X^*}(\tau) = \sup \left\{ \tau \dfrac{\varepsilon}{2} - \delta_X(\varepsilon): 0 \leqslant \varepsilon \leqslant 2 \right\}.$$

我們可以利用上述命題將原空間的一致凸性和共軛空間的一致光滑性聯繫起來，為此給出賦范線性空間的一致光滑性的定義:

假設有賦范線性空間$X$，我們稱它是一致光滑的（uniformly smooth），是指極限$\lim_{\tau \to 0^+} \dfrac{\rho_X(\tau)}{\tau} = 0.$

可以證明：

賦范線性空間$X$是一致凸的當且僅當$X^*$是一致光滑的。

進一步，Milman-Pettis 定理指出：一致凸的 Banach 空間是自反空間。

收斂性

在 Hilbert 空間中，弱收斂序列如果是模有界的，那麼它就是強收斂的，這個性質在一般的 Banach 空間中不成立，但是在一致凸的 Banach 空間中成立。

假設$X$是一致凸的 Banach 空間，$\{ x_n \} \subset X$滿足：

1. $x_n$弱收斂到$x.$
2. $\lim_{n \to \infty} \| x_n \| = \| x \|.$

那麼$x_n$強收斂到$x$。

關於這個定理/命題的證明，單擊這裏以顯示/摺疊

如果$x = 0$，我們甚至不需要一致凸性，因為這時第二個條件直接就是強收斂到零的定義，下面我們考察$x \neq 0$的情況，注意到一致凸性都是在單位球內考慮的，因此我們需要對序列$\{ x_n \}$緊性放縮，令

$$\lambda_n := \max \{ \| x_n \|, \| x \| \}, \quad y_n := \lambda_n^{-1} x_n, \quad y := \| x \|^{-1} x.$$

由於$x \neq 0$，上面的定義都是有意義的（$\lambda_n \geqslant \| x \| > 0$），這時我們就有$\| y_n \|, \| y \| \leqslant 1.$我們注意到

$$\lambda_n = \dfrac{\| x_n \| + \| x \|}{2} + \dfrac{\big| \| x_n \| - \| x \| \big|}{2} \to \| x \|.$$

$y_n$弱收斂到$y$，於是$\dfrac{y_n + y}{2}$弱收斂到$y$。因而由範數的弱下半連續性得到

$$1 = \| y \| \leqslant \liminf_{n \to \infty} \left\| \dfrac{y_n+y}{2} \right\|.$$

另一方面，我們注意到$\limsup_{n \to \infty} \left\| \dfrac{y_n+y}{2} \right\| \leqslant 1.$這樣我們就有$\left\| \dfrac{y_n+y}{2} \right\| \to 1$，由評註#一致凸性的序列性質我們就得到$y_n$強收斂到$y$，今兒就得到結論。

三角不等式

下面這個定理是一直凸空間中對範數的三角不等式的細化：

假設$X$是一致凸的 Banach 空間，$1 \leqslant p < +\infty$，那麼對任意$M > 0$以及任意$\varepsilon > 0$存在$\delta > 0$對任意$x, y \in X: \| x \| \leqslant M, \| y \| \leqslant M, \| x - y \| > \varepsilon$都有

$$\left\| \dfrac{x+y}{2} \right\|^p \leqslant \dfrac{1}{2} \| x \|^p + \dfrac{1}{2} \| y \|^p - \delta.$$

關於這個定理/命題的證明，單擊這裏以顯示/摺疊

$p = 1$時規範化向量$x, y$，然後直接用定義就可以得到，下面假設$p > 1$，用反證法，假設存在$M_0 > 0$存在$\varepsilon_0 > 0$對任意$\delta = \dfrac{1}{n}$（$n$是正整數）存在$x_n, y_n \in X$滿足$\| x_n \|, \| y_n \| \leqslant M_0, \| x - y \| > \varepsilon_0$都有

$$\left\| \dfrac{x_n+y_n}{2} \right\|^p > \dfrac{1}{2} \| x_n \|^p + \dfrac{1}{2} \| y_n \|^p - \dfrac{1}{n}. \quad(1)$$

1. 由於實數列$\{ \| x_n \| \}, \{ \| y_n \| \}$有界，進而有收斂子列，我們依舊記作$\{ x_n \}, \{ y_n \}$並記模極限分別是$\| x_n \| \to a, \| y_n \| \to b$注意到
   $$\left\| \dfrac{x_n+y_n}{2} \right\|^p \leqslant 2^{-p} (\| x_n \| + \| y_n \|)^p \to 2^{-p} (a+b)^p,$$
   因此對$(1)$式取極限得到
   $$a^p + b^p \leqslant 2^{1-p}(a+b)^p.$$
   由這個練習題，那麼上述不等式只能是等式即$a = b.$
2. 我們斷言$a = b \ne 0$，實際上如果$a = b = 0$，那麼$\{ x_n - y_n \}$收斂到零，然而
   $$\| x_n - y_n \| \geqslant \varepsilon_0 > 0.$$
   這是不可能的。
3. 規範化：我們假設$\{ x_n \}, \{ y_n \}$中沒有為零的項，令$x_n' = \dfrac{x_n}{\| x_n \|}, y_n' = \dfrac{y_n}{\| y_n \|}$，那麼當$n$充分大時我們有
   $$\| x_n' - y_n' \| \geqslant \dfrac{\varepsilon_0}{a} + o(1).$$

由一致凸性存在$\delta_0 > 0$使得

$$\left\| \dfrac{x_n'+y_n'}{2} \right\| \leqslant 1 - \delta_0 \Longrightarrow \left\| \dfrac{x_n+y_n}{2} \right\| \leqslant a - \delta_0 < a.$$

但是由$(1)$式我們就有

$$\left\| \dfrac{x_n+y_n}{2} \right\| \geqslant a + o(1).$$

這樣就導出了矛盾。

投影引理

下面這個定理指出：一致凸空間上的閉凸子集關於範數的最佳逼近問題存在唯一。

假設$C$是一致凸 Banach 空間$X$中的閉凸子集，那麼對任意的$x \in X$存在唯一的$P_{C}x\in C$使得

$$\|x-P_{C}x\|=\inf _{y\in C}\|x-y\|.$$

且對任意的$y\in C,y\neq P_{C}x$都有$\|x-P_{C}x\|<\|x-y\|.$

我們稱$P_C$是$X$在$C$上的投影，進一步這個投影映射$P_{C}:X\to C$還是連續的，且在任意有界集上一致連續。

證明參見投影引理。

單位向量

我們知道，根據 Hahn-Banach 定理，任意的非零元$x \in X$都存在一個$f\in B_{X^{*}}(0,1)$使得$f(x)=\|f\|$，但是給定一個$f \in X^*$未必存在$x\in B_{X}(0,1)$使得$f(x)=\|f\|$，不過在一致凸空間中，這是對的。

假設$X$是一致凸的 Banach 空間，$f\in X^{*},f\neq 0$，那麼存在$v_{f}\in X$，$\|v_{f}\|=1$滿足

$$f(v_{f})=\|f\|.$$

進一步，映射$f\mapsto v_{f}:X^{*}\setminus \{0\}\to X$連續。

參考資料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.