一致凸空间

一致凸空间（uniformly convex space）是一种具备了凸性的赋范线性空间，其上的范数拓扑决定了该空间中的凸性质。该空间最早由 James A. Clarkson 于1936年提出。我们常见的很多函数空间，例如 Hilbert 空间，$L^p$空间（$1 < p < +\infty$）都是一致凸的。

定义

赋范线性空间$X$中的范数$\| \cdot \|$称为是一致凸的（uniformly convex），是指：对任意$0 < \varepsilon \leqslant 2$，存在正数$\delta > 0$使得

如果$x,y \in X$满足$\| x \| = \| y \| = 1, \| x - y \| \geqslant \varepsilon$

那么$\left\| \dfrac{x+y}{2} \right\| \leqslant 1 - \delta.$

此时我们也称赋范线性空间$X$是一致凸空间。 一些评注：

1. 一个赋范线性空间上可能有很多等价范数，可能存在这样的情况：某个范数是一致凸的，但存在另外的非一致凸范数。因此一致凸性仅仅是范数的性质。只要该空间有一个一致凸范数，那么这个空间就称为一致凸空间。但是范数的性质却可以决定某些空间自身的性质，例如自反性（Milman-Pettis 定理表明一致凸空间是自反的）。
2. 上述定义中的条件$\| x \| = \| y \| = 1$可以弱化为$\| x \|, \| y \| \leqslant 1.$
3. 一致凸性是比局部凸性更强的条件，任何赋范线性空间都是局部凸的，但不一定是一致凸的。进一步一致凸性比严格凸性的条件更强，形象地说，严格凸性要求$X$中的单位球上成立更强的三角不等式
   $$\| x+y \| < \| x \| + \| y \| \iff x, y~\text{are linear independent.}$$
   而一致凸性要求该不等式一致地成立。存在着严格凸但不是一致凸的空间，甚至是自反的，参见这里。
4. Hilbert 空间是一致凸的 Banach 空间，仅需注意到平行四边形恒等式即可，$L^p$空间当$1 < p < +\infty$时是一致凸的，证明主要用到 Clarkson 不等式。
5. 在一个一致凸空间$X$中，如果有序列$\{ x_n \} \subset X$以及$x \in X$满足$\| x_n \| \leqslant 1, \| x \| \leqslant 1$，$\lim_{n \to \infty} \| x_n + x \| = 2$，那么$\{ x_n \}$强收敛到$x$，实际上对任意$\varepsilon > 0$我们要证明存在$n \in \N$使得$\| x_n - x \| < \varepsilon$，由一致凸的定义，我们只需要找到$\| x_n + x \| > 2(1-\delta)$的$x_n$即可，然而注意到$\| x_n + x \| \to 2$因此对$2\delta > 0$存在$N \in \N$使得$2 - \| x_n + x \| < 2\delta.$
6. 进一步，我们可以证明，$X$一致凸当且仅当对任意$\{ x_n \}, \{ y_n \} \in X, \| x_n \|, \| y_n \| \leqslant 1$，如果$\| x_n + y_n \| \to 2$，我们有$\| x_n - y_n \| \to 0.$
7. 一致凸的 Banach 空间$X$中的一个完备闭子空间$X_0$是一致凸的，因此一致凸性是可继承的性质。

一致凸模

为了更精确的描述一致凸性，我们可以引入凸模的概念：

对于一个赋范线性空间$X$，定义其中的凸模（modulus of convexity）：

$$\delta_X(\varepsilon) = \inf\left\{ 1 - \dfrac{\| x+y \|}{2}: \| x \| = \| y \| = 1, \| x - y \| \geqslant \varepsilon \right\}.$$

我们有如下命题：

赋范线性空间$X$是一致凸的当且仅当其凸模$\delta_X(\varepsilon) > 0, \forall \varepsilon \in (0, 2].$

凸模和一致凸空间定义中的$\varepsilon\text{-}\delta$表述类似于复值函数的连续模和连续性定义的$\varepsilon\text{-}\delta$表述。例如$L^p$空间的凸模是

$$\begin{cases} \delta_p(\varepsilon) = \dfrac{\varepsilon^p}{p2^p} + o(\varepsilon^p), & \qquad 2 \leqslant p < +\infty, \\ \delta_p(\varepsilon) = \dfrac{(p-1)\varepsilon^2}{8} + o(\varepsilon^2),& \qquad 1 < p \leqslant 2. \end{cases}$$

共轭性质

为了通过共轭的方法研究赋范线性空间的一致凸性, 我们引入光滑模的概念：

假设有赋范线性空间$X$，定义如下函数为$X$的光滑模（modulus of smoothness）：

$$\rho_X(\tau) = \sup \left\{ \dfrac{\| x+y \| + \| x-y \|}{2} - 1: x, y \in X, \| x \| = 1, \| y \| = \tau \right\}.$$

可以证明：共轭空间的光滑模可以用原空间的凸模表达。

假设$X$是赋范线性空间，那么其共轭空间$X^*$中的光滑模有表达式

$$\rho_{X^*}(\tau) = \sup \left\{ \tau \dfrac{\varepsilon}{2} - \delta_X(\varepsilon): 0 \leqslant \varepsilon \leqslant 2 \right\}.$$

我们可以利用上述命题将原空间的一致凸性和共轭空间的一致光滑性联系起来，为此给出赋范线性空间的一致光滑性的定义:

假设有赋范线性空间$X$，我们称它是一致光滑的（uniformly smooth），是指极限$\lim_{\tau \to 0^+} \dfrac{\rho_X(\tau)}{\tau} = 0.$

可以证明：

赋范线性空间$X$是一致凸的当且仅当$X^*$是一致光滑的。

进一步，Milman-Pettis 定理指出：一致凸的 Banach 空间是自反空间。

收敛性

在 Hilbert 空间中，弱收敛序列如果是模有界的，那么它就是强收敛的，这个性质在一般的 Banach 空间中不成立，但是在一致凸的 Banach 空间中成立。

假设$X$是一致凸的 Banach 空间，$\{ x_n \} \subset X$满足：

1. $x_n$弱收敛到$x.$
2. $\lim_{n \to \infty} \| x_n \| = \| x \|.$

那么$x_n$强收敛到$x$。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

如果$x = 0$，我们甚至不需要一致凸性，因为这时第二个条件直接就是强收敛到零的定义，下面我们考察$x \neq 0$的情况，注意到一致凸性都是在单位球内考虑的，因此我们需要对序列$\{ x_n \}$紧性放缩，令

$$\lambda_n := \max \{ \| x_n \|, \| x \| \}, \quad y_n := \lambda_n^{-1} x_n, \quad y := \| x \|^{-1} x.$$

由于$x \neq 0$，上面的定义都是有意义的（$\lambda_n \geqslant \| x \| > 0$），这时我们就有$\| y_n \|, \| y \| \leqslant 1.$我们注意到

$$\lambda_n = \dfrac{\| x_n \| + \| x \|}{2} + \dfrac{\big| \| x_n \| - \| x \| \big|}{2} \to \| x \|.$$

$y_n$弱收敛到$y$，于是$\dfrac{y_n + y}{2}$弱收敛到$y$。因而由范数的弱下半连续性得到

$$1 = \| y \| \leqslant \liminf_{n \to \infty} \left\| \dfrac{y_n+y}{2} \right\|.$$

另一方面，我们注意到$\limsup_{n \to \infty} \left\| \dfrac{y_n+y}{2} \right\| \leqslant 1.$这样我们就有$\left\| \dfrac{y_n+y}{2} \right\| \to 1$，由评注#一致凸性的序列性质我们就得到$y_n$强收敛到$y$，今儿就得到结论。

三角不等式

下面这个定理是一直凸空间中对范数的三角不等式的细化：

假设$X$是一致凸的 Banach 空间，$1 \leqslant p < +\infty$，那么对任意$M > 0$以及任意$\varepsilon > 0$存在$\delta > 0$对任意$x, y \in X: \| x \| \leqslant M, \| y \| \leqslant M, \| x - y \| > \varepsilon$都有

$$\left\| \dfrac{x+y}{2} \right\|^p \leqslant \dfrac{1}{2} \| x \|^p + \dfrac{1}{2} \| y \|^p - \delta.$$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

$p = 1$时规范化向量$x, y$，然后直接用定义就可以得到，下面假设$p > 1$，用反证法，假设存在$M_0 > 0$存在$\varepsilon_0 > 0$对任意$\delta = \dfrac{1}{n}$（$n$是正整数）存在$x_n, y_n \in X$满足$\| x_n \|, \| y_n \| \leqslant M_0, \| x - y \| > \varepsilon_0$都有

$$\left\| \dfrac{x_n+y_n}{2} \right\|^p > \dfrac{1}{2} \| x_n \|^p + \dfrac{1}{2} \| y_n \|^p - \dfrac{1}{n}. \quad(1)$$

1. 由于实数列$\{ \| x_n \| \}, \{ \| y_n \| \}$有界，进而有收敛子列，我们依旧记作$\{ x_n \}, \{ y_n \}$并记模极限分别是$\| x_n \| \to a, \| y_n \| \to b$注意到
   $$\left\| \dfrac{x_n+y_n}{2} \right\|^p \leqslant 2^{-p} (\| x_n \| + \| y_n \|)^p \to 2^{-p} (a+b)^p,$$
   因此对$(1)$式取极限得到
   $$a^p + b^p \leqslant 2^{1-p}(a+b)^p.$$
   由这个练习题，那么上述不等式只能是等式即$a = b.$
2. 我们断言$a = b \ne 0$，实际上如果$a = b = 0$，那么$\{ x_n - y_n \}$收敛到零，然而
   $$\| x_n - y_n \| \geqslant \varepsilon_0 > 0.$$
   这是不可能的。
3. 规范化：我们假设$\{ x_n \}, \{ y_n \}$中没有为零的项，令$x_n' = \dfrac{x_n}{\| x_n \|}, y_n' = \dfrac{y_n}{\| y_n \|}$，那么当$n$充分大时我们有
   $$\| x_n' - y_n' \| \geqslant \dfrac{\varepsilon_0}{a} + o(1).$$

由一致凸性存在$\delta_0 > 0$使得

$$\left\| \dfrac{x_n'+y_n'}{2} \right\| \leqslant 1 - \delta_0 \Longrightarrow \left\| \dfrac{x_n+y_n}{2} \right\| \leqslant a - \delta_0 < a.$$

但是由$(1)$式我们就有

$$\left\| \dfrac{x_n+y_n}{2} \right\| \geqslant a + o(1).$$

这样就导出了矛盾。

投影引理

下面这个定理指出：一致凸空间上的闭凸子集关于范数的最佳逼近问题存在唯一。

假设$C$是一致凸 Banach 空间$X$中的闭凸子集，那么对任意的$x \in X$存在唯一的$P_{C}x\in C$使得

$$\|x-P_{C}x\|=\inf _{y\in C}\|x-y\|.$$

且对任意的$y\in C,y\neq P_{C}x$都有$\|x-P_{C}x\|<\|x-y\|.$

我们称$P_C$是$X$在$C$上的投影，进一步这个投影映射$P_{C}:X\to C$还是连续的，且在任意有界集上一致连续。

证明参见投影引理。

单位向量

我们知道，根据 Hahn-Banach 定理，任意的非零元$x \in X$都存在一个$f\in B_{X^{*}}(0,1)$使得$f(x)=\|f\|$，但是给定一个$f \in X^*$未必存在$x\in B_{X}(0,1)$使得$f(x)=\|f\|$，不过在一致凸空间中，这是对的。

假设$X$是一致凸的 Banach 空间，$f\in X^{*},f\neq 0$，那么存在$v_{f}\in X$，$\|v_{f}\|=1$满足

$$f(v_{f})=\|f\|.$$

进一步，映射$f\mapsto v_{f}:X^{*}\setminus \{0\}\to X$连续。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.