一元二次方程式

一元二次方程式是一個只有一個未知數、最高次數是二次的方程式，基本的公式為 $ax^{2} + bx + c = 0$。

其中，$ax^2$是二次項，$bx$是一次項，$c$是常數項。$a\ne0$是一個重要條件，否則該式的最高次數就不會是二次。當然，一元二次方程式的解有時會出現「無實根」的情況。

解方程式

因式分解

使用因式分解來解一元二次方程式的重要關鍵是：若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0 。

• 沒有常數項：
  1. $x^2+7x=0$
  2. $\Rightarrow x(x+7)=0$(提出公因式)
  3. $\Rightarrow x=0 , x+7=0$(若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
  4. $\Rightarrow x=0 ,-7$
• 沒有一次項：
  1. $x^2+11=36$
  2. $\Rightarrow x^2=36-11=25$(移常數項)
  3. $\Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{25}$(兩邊各開根號)
  4. $\Rightarrow x=5,-5$
• 完整式：
  1. $x^2+36x-396=11x$
  2. $x^2+(36-11)x-396=0$(移項)
  3. $x^2+25x-396=0$(36-11=25)
  4. $\Rightarrow (x+36)(x-11)=0$(使用十字交乘法)
  5. $\Rightarrow x+36=0 , x-11=0$
  6. $\Rightarrow x=-36,11$
• 完整式 (完全平方式)：
  1. $36x^2+360x+636=11x^2+110x+11$
  2. $(36-11)x^2+(360-110)x+636-11=0$
  3. $25x^2+250x+625=0$(36-11=25, 360-110=250, 636-11=625)
  4. $x^2+10x+25=0$(同除以25)
  5. $\Rightarrow (x+5)^2=0$
  6. $\Rightarrow x=-5,-5$
• 無實根：
  1. $\frac{1}{2}x^2 -6x + \frac{55}{2}= 0$，其中$b^2-4ac=36-4(\frac{1}{2})(\frac{55}{2})= 36-55=-19$
  2. $x_1=6-\sqrt{19}i,x_2=6+\sqrt{19}i$

判別式= 36—55=—19

此題無實根，但有两个虚根。

配完全平方式

參見：一元二次多項式的配方法

配完全平方式，簡稱配方法，是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的過程。

簡單來說就是像這樣的式子，其中「一次項係數一半的平方」是指一次項係數除2再平方，如一次項係數是4，那就是要兩邊同加上

$(4\div2)^2$ 才能配方。

1. $x^2+10x+36=636$
2. $\Rightarrow x^2+10x+36{\color{orange}{-11}}=636{\color{orange}{-11}}$(兩邊同減11)
3. $\Rightarrow x^2+10x+25=625$
4. $\Rightarrow \sqrt{(x+5)^2}=\sqrt{625}$(等號左邊配方、兩邊同開根號)
5. $\Rightarrow x+5=25$
6. $\Rightarrow x=20$

公式解

把二次項係數當作a、一次項係數當b、常數項當c，並代入

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ 以求解。

1. $36x^2+6x+\frac{11}{100}=11x^2$
2. $(36-11)x^2+6x+\frac{11}{100}=0$
3. $b^2-4ac=36-4(36-11)\times\frac{11}{100}=36-11=25$
4. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{36-11}}{2(36-11)}=\frac{-6\pm 5}{50}=\frac{-1}{50} , \frac{-11}{50}$

證明

• 1. $ax^{2} + bx + c = 0$
  2. $\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$(兩邊同除a)
  3. $\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$(移常數項)
  4. $\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$(兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
  5. $\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$(等號左邊配方)
  6. $\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$(等號右邊通分)
  7. $\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

參考文獻

書目

• 《國中數學2上》，南一出版，2012年8月版

外部連結

• 中文維基教科書-一元二次方程式
• 維基筆記-一元二次方程式
• 中文世界大典-一元二次方程式