χ 分布

在概率论和数理统计中，$\chi$分布是作为$\chi^2$分布的算术平方根而引入的。

模型

若一个非负连续型随机变量$Y$服从自由度为$n$的$\chi^2$分布，那么称$X = \sqrt{Y}$就服从自由度为$n$的$\chi$分布，它的概率密度函数是 $$f(x) = \dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}-1} \Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)} x^{n-1} \text{e}^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x \geqslant 0.$$ 自然，它也可以由标准正态分布直接推导，即服从标准正态分布的随机变量$Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$组成的随机向量$(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n)$到原点的距离$X = \sqrt{\sum_{k=1}^n Y_k}$就服从自由度为$n$的$\chi$分布。

特别地，当$n=2$时就是 Rayleigh 分布，$n = 3$时就是 Maxwell 分布律。

$\chi$分布的概率密度函数图像

导出

利用$\chi^2$分布导出$\chi$分布：

设$Y$服从自由度为$n$的$\chi^2$分布，它的密度函数是 $$f(y) = \dfrac{1}{2^\frac{n}{2}~\Gamma\!\left( \frac{n}{2} \right)} y^{\frac{n}{2}-1} \text{e}^{-\frac{y}{2}}, \qquad y \geqslant 0$$ 因此，设$x \geqslant 0$，随机变量$X = \sqrt{Y}$的分布函数是 $$\begin{align} F_X (x) & = P\{ X < x \} = P\{ Y < x^2 \} \\ & = \int_0^{x^2} \dfrac{1}{2^\frac{n}{2}~\Gamma\!\left( \frac{n}{2} \right)} y^{\frac{n}{2}-1} \text{e}^{-\frac{y}{2}} \mathrm{d}y \\ \therefore f_X (x) & = F'_X (x) = \dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}-1} \Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)} x^{n-1} \text{e}^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x \geqslant 0. \end{align}$$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.