χ² 分布

$\chi^2$分布（卡方分布）是在数理统计中常用的一种概率分布，它和假设检验的 $\chi^2$检验有密切关系。是统计学中三大分布之一。

模型

设有非负连续型随机变量$X$，它的概率密度函数是 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^\frac{n}{2}~\Gamma\!\left( \frac{n}{2} \right)} x^{\frac{n}{2}-1} \text{e}^{-\frac{x}{2}}, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases}$$ 其中，$n$是正整数，我们就说随机变量$X$服从自由度为$n$的$\chi^2$分布，记作$X \sim \chi^2_n$。

$\chi^2$的概率密度函数，$n$越大，越趋于对称。

矩

$\chi^2$分布的数学期望为$n$，方差为$2n$，特征函数是$(1-2\text{i}t)^{-\frac{n}{2}}$。

导出

该分布可以由下述情形导出：设随机变量$X_i,i=1,2,\cdots,n$相互独立，且$X_i \sim N(0, 1), i = 1,2,\cdots,n$，即$X_i$服从标准正态分布，那么$Y = \sum_{i=1}^n X^n$服从自由度为$n$的$\chi^2$分布。

可以说，如果存在一个$n$维 Euclid 空间，而一个点的位置是一个变量，它的任意一个分量都服从标准正态分布，那么这个点到原点的距离的平方就服从自由度为$n$的$\chi^2$分布，而距离则服从$\chi$分布。

自由度为$n$的$\chi^2$分布等价于 Γ 分布$\Gamma\!\left(\dfrac{n}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$。也可以用这一事实导出$\chi^2$分布。

可加性

设$X \sim \chi^2_m, Y \sim \chi^2_n$，且$X$和$Y$是相互独立的，那么$Z = X + Y$就服从自由度为$m+n$的$\chi^2$分布，简记作 $$\chi^2_m \ast \chi^2_n = \chi^2_{m+n}.$$ 这一点在它的导出中是显而易见的。

渐近分布

$\chi^2$分布在$n$趋于无穷时趋近于正态分布，这是由强大数定律得出的结论。

非中心 χ² 分布

当推导过程中变量不是标准的正态分布而是一般的正态分布时会引出非中心 χ² 分布。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.