σ-代数

$\sigma$代数是一种特殊的集类，主要在定义一个集合上的测度时使用。

半代数

考虑一个平凡的结构，设$\mathit{\Omega}~ \ne \varnothing$，称$S \subset 2^\mathit{\Omega}$是一个半代数，如果满足

1. 对交封闭：如果$A, B \in S$，那么$AB \in S;$
2. 补为不交并：如果$A \in S$，那么存在$A_i \in S, A_i A_j \ne \varnothing, i \ne j, i,j = 1,2,\cdots$使得$\overline{A} = \bigcup_{i=1}^n A_j.$

在半代数上无法定义补事件的测度，自然不能定义概率，再将上述条件稍微加强，得到代数这一结构。

代数

设$\mathit{\Omega}~ \ne \varnothing$，称$S \subset 2^\mathit{\Omega}$是一个代数，如果满足

1. 对并封闭：如果$A, B \in S$，那么$A \cup B \in S;$
2. 对补封闭：如果$A \in S$，那么$\overline{A} \in S.$

由上述两条可以推出对交封闭（使用 De Morgan 定理）以及有限可加性，是一种半代数，但是不能处理极限问题（没有可列可加性）。

再将上述条件加强，就得到$\sigma$代数，

σ-代数

设$\mathit{\Omega}~$是一个集合，我们称集合族$\varSigma \subseteq 2^\mathit{\Omega}$为$\sigma$-域或$\sigma$-代数，如果：

1. $\varnothing \in \varSigma$
2. 若$A \in \varSigma$，则它的补集$\overline{A} \in \varSigma;$
3. 若$A_j \in \varSigma, j = 1,2,\cdots$，则$\bigcup_{j=1}^\infty A_j \in \varSigma.$

从这三条可以知道，$\varSigma$中的集合经过有限次的集合运算或至多可列次运算后都依然在$\varSigma$中，注意经过不可列次运算所得的结果，不一定在$\varSigma$中。

最平凡的$\sigma$-代数是$\{ \mathit{\Omega}, \varnothing \}$，仅考虑某个特定集合$A \in \mathit{\Omega}~$的$\sigma$-代数是$\{ \mathit{\Omega}, \varnothing, A, \overline{A} \}.$一个非空集合的幂集本身$2^\mathit{\Omega}$也是$\sigma$-代数。在概率的公理化定义中，事件域就是一种$\sigma$-代数。

生成 σ-代数

设设$\mathit{\Omega}~$是一个集合，$\varSigma \subseteq 2^\mathit{\Omega}$，称包含设$\varSigma$的“最小”的$\sigma$-代数$\Gamma(\sigma)$为由$\varSigma$生成的$\sigma$-代数，这里“最小”的意思是：对任意包含$\varSigma$的$\sigma$-代数$\Gamma'$都有$\Gamma(\sigma) \subseteq \Gamma'.$

在此基础上我们可以定义 Borel σ-代数。

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.