λ-矩阵

$\lambda$-矩阵是一种多项式矩阵，即这种矩阵中的每个位置上的元素都是有关变元$\lambda$的多项式。

定义

令$\mathbb{P}$为数域，$\lambda$是一个变元，称$\mathbb{P}[\lambda]^{m \times n}$中的元素为数域$\mathbb{P}^{m \times n}$上的一个$m \times n$阶$\lambda$-矩阵，例如，下面的这个矩阵就是一个复数域上的$3 \times 2$阶$\lambda$-矩阵。它的表示可以用斜体字母加上一个括号标注的变元字母表示，如$A(\lambda), B(\lambda), \cdots$。 $$\begin{pmatrix} \lambda + 1 & \mathrm{i}\lambda^2 + \lambda + 2 & 1 \\ -2\lambda + \sqrt{5} & 3\lambda^2 -2\lambda+2 & 7+2\mathrm{i} \end{pmatrix}$$

实际上，它和有关变元$\lambda$的矩阵多项式是意义相同的，因此我们可以将$\mathbb{P}[\lambda]^{m \times n}$和$\mathbb{P}^{m \times n}[\lambda]$等同看待。

对于$\lambda$-矩阵，我们可以像数字矩阵那样定义它的相等、加法、乘法、行列式以及秩的概念，需要注意的是，对于满秩、非奇异以及可逆性，我们是这样定义的：

1. 称$A(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{n \times n}$是满秩的，如果$\operatorname{rank} A(\lambda) = n$；
2. 称$A(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{n \times n}$是非奇异的，如果$|A(\lambda)| \ne 0$；
3. 称$A(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{n \times n}$是可逆的，如果$\exists B(\lambda) \in \mathbb{P}^{n \times n}$，使得$A(\lambda) B(\lambda) = B(\lambda) A(\lambda)= E$。

由此可知，$\lambda$-矩阵的满秩性与非奇异性是等价的，但和可逆性不等价，$A(\lambda) \in \mathbb{P}^{n \times n}$的可逆当且仅当$|A(\lambda)| = k \ne 0 \in \mathbb{P}$，可逆性要比满秩性条件要强。

初等变换

像矩阵那样，$m \times n$阶$\lambda$-矩阵也有下面三种初等变换以及对应的初等$\lambda$-矩阵（对应的初等矩阵就是将单位矩阵做和原来相同的变换）：

1. 数域$\mathbb{P}$上的非零数$k$乘该矩阵的第$l$行（列），记作$[l(k)]$（$\{ l(k) \}$），其对应的初等$\lambda$-矩阵是$M_n^{(l)} (k)$；
2. 将该矩阵的第$s$行（列）的$\phi(\lambda)$倍加到第$t$行（列）上，记为$[ t + s(\phi(\lambda))]$（$\{ t + s(\phi(\lambda)) \}$），其对应的初等$\lambda$-矩阵是$C(\lambda)_n^{(s,t)} (\phi(\lambda))$；
3. 将该矩阵的第$s$行（列）与第$t$行（列）交换，记为$[s, t]$（$\{ s, t \}$），其对应的初等$\lambda$-矩阵是$P_n^{(s,t)}$。

这些初等$\lambda$-矩阵都是可逆的，它们的逆分别是

1. $(M_n^{(l)} (k))^{-1} = M_n^{(l)} (\dfrac{1}{k})$；
2. $(C(\lambda)_n^{(s,t)} (\phi(\lambda)))^{-1} = C(\lambda)_n^{(s,t)} (-\phi(\lambda))$；
3. $(P_n^{(s,t)})^{-1} = P_n^{(s,t)}$。

同样，这些初等$\lambda$-矩阵左（右）乘一个$\lambda$-矩阵的意义就是对原来的$\lambda$-矩阵最相应的初等行（列）变换。

等价标准型

如果$A(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{m \times n}$经过有限次初等变换后得到$B(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{m \times n}$，即存在一系列初等$\lambda$-矩阵$P_1(\lambda), P_2(\lambda), \cdots, P_s(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{m \times m}$以及$Q_1(\lambda), Q_2(\lambda), \cdots, Q_t(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{n \times n}$，使得 $$B(\lambda) = P_s(\lambda) \cdots P_2(\lambda) P_1(\lambda) A(\lambda) Q_1(\lambda) Q_2(\lambda) \cdots Q_t(\lambda)$$ 就称$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价，记作$A(\lambda) \sim B(\lambda)$。

$A(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{m \times n}$与$B(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{m \times n}$等价当且仅当存在可逆$\lambda$-矩阵$S(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{m \times m}, T(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{n \times n}$，使得 $$B(\lambda) = S(\lambda) A(\lambda) T(\lambda).$$

可以证明，任意$A(\lambda) \in \mathbb{P}^{m \times n}$都等价于如下分块$\lambda$-矩阵： $$\begin{pmatrix} A_{11}(\lambda) & O \\ O & O \end{pmatrix}$$ 其中$$A_{11}(\lambda) = \begin{pmatrix} d_1 (\lambda) \\ & d_2 (\lambda) \\ && \ddots \\ &&& d_r (\lambda) \\ \end{pmatrix} \in \mathbb{P}[\lambda]^{r \times r}$$ 且$r = \operatorname{rank} A(\lambda)$，$d_k (\lambda) \in \mathbb{P} [\lambda], k = 1, 2, \cdots, r$是首一多项式，且$d_{k-1} (\lambda) \mid d_k (\lambda), k = 2, 3, \cdots, r.$

这一等价标准型是唯一的。

相关因子

行列式因子

对于$A(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{m \times n}$，设$r = \operatorname{rank} A(\lambda)$，称$A(\lambda)$中所有$k$阶子式的首一的最大公因式$D_k (\lambda)$为$A(\lambda)$的$k$阶行列式因子，其中$k = 1, 2, \cdots, r.$

若已知$A(\lambda)$的等价标准型（如上文），那么有$D_k (\lambda) = d_1 (\lambda) d_2 (\lambda) \cdots d_k (\lambda)$，其中$k = 1, 2, \cdots, r.$

不变因子

对于$A(\lambda) \in \mathbb{P}[\lambda]^{m \times n}$，设$r = \operatorname{rank} A(\lambda)$，称$A(\lambda)$的等价标准型的$d_k(\lambda), k = 1, 2, \cdots, r$为$A(\lambda)$的$k$阶不变因子。

显然，$d_1 (\lambda) = D_1 (\lambda), d_k (\lambda) = \dfrac{D_k (\lambda)}{D_{k-1} (\lambda)}, k = 2, 3, \cdots, r.$

一个$\lambda$-矩阵的行列式因子与不变因子不会随着数域的变化而变化。

初等因子

将秩为$r$的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$在数域$\mathbb{P}$上做不可约因式分解，得到它的标准分解式 $$d_r (\lambda) = p_1 (\lambda)^{k_{r1}} p_2(\lambda)^{k_{r2}} \cdots p_s (\lambda)^{k_{rs}}$$ 于是$$d_i (\lambda) = p_1 (\lambda)^{k_{i1}} p_2(\lambda)^{k_{i2}} \cdots p_s (\lambda)^{k_{is}}$$ 其中$0 \leqslant k_{ij} \leqslant k_{i+1,j}, i = 1, 2, \cdots, r-1, j = 1, 2, \cdots, s$

我们就称上述分解中$k_{ij} \ne 0, i = 1, 2, \cdots, r, j = 1, 2, \cdots, s$所对应的所有$p_i (\lambda) ^{k_{ij}}$组成的全体称为$A(\lambda)$的初等因子组，每一个元素都是初等因子。

上下节

• 上一节：关联矩阵的特征根
• 下一节：数字矩阵的特征矩阵

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.