Γ 分布

$\Gamma$分布（伽马分布）是概率论和数理统计中经常使用到的一类非负连续型随机变量的分布，它是离散型随机变量服从的 Pascal 分布的推广，其特例是指数分布。

模型

已知常数$\lambda, \alpha > 0$，设有非负连续型随机变量$X$，如果它的概率密度函数是

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \text{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$$

我们就称随机变量$X$服从$\Gamma$分布，记作$X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$，其中$\alpha$是形状参数，$\lambda$是尺度参数。特别地，当$\alpha = 1$的时候就是指数分布。

当$\alpha$是正整数时，上述分布也叫做 Erlang 分布（埃尔朗分布），它和 Poisson 过程密切相关。

$\Gamma$分布的规范性

$$\int_0^{+\infty} \dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \text{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x = \dfrac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} (\lambda x)^{\alpha-1} \text{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}(\lambda x) = 1$$

上式使用了$\Gamma$函数。

性质

$\Gamma$分布具有可和性，如果设两个相互独立的随机变量$X_1 \sim \Gamma(\alpha_1, \lambda), X_2 \sim \Gamma(\alpha_2, \lambda)$，那么$X_1 + X_2 \sim \Gamma(\alpha_1 + \alpha_2, \lambda).$

特别地，当$\alpha$是正整数$n$时，$\Gamma$分布可以拆分为$n$个相互独立的相同指数分布的和，后者可以通过对一个服从指数分布的随机变量进行$n$次独立重复试验得到，这和离散情形中 Pascal 分布是多个相互独立的相同几何分布的和是类似的。

数字特征

设$X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$，那么$E(X) = \dfrac{\alpha}{\lambda}, D(X) = \dfrac{\alpha}{\lambda^2}$，特征函数是$\left( 1-\dfrac{\text{i}t}{\lambda} \right)^{-\alpha}.$

统计特性

指数分布族

参数为$(\lambda, \alpha) \in \R^+ \times \R^+$的 Γ 分布族是指数分布族。

点估计

已知$\alpha>0$，关于参数$\lambda$的 Γ 分布族$\Gamma(\alpha, \lambda)$，参数$\lambda$的矩估计和极大似然估计是$\dfrac{\alpha}{\overline{X}}$，它不是无偏估计。然而参数的函数$\lambda^{-1}$的无偏估计是$\dfrac{\overline{X}}{\alpha}$且是一致最小方差无偏估计。达到了 C-R 下界。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.