Γ 函数

Γ 函数（伽马函数）是一类十分常见的特殊函数，它是正整数阶乘的推广。

概念

该函数$\Gamma(z)$通常的定义方式为 $$\Gamma(z) = \int_C \text{e}^{-t} t^{z-1} \mathrm{d}t.$$ 该定义在$\text{Re} z > 0$的区域上奏效，$C$为从$0$到无穷的任意一条周线。特别地可以取$C: z = \text{e}^{\text{i}\alpha}t, t > 0, |\alpha| < \dfrac{\pi}{2}.$

特别地$\Gamma(1) = \int_C \text{e}^{-t} \mathrm{d}t = 1$，因此$\Gamma(n+1) = n!, \forall n \in \N^+.$

延拓

Γ 函数有一个递推关系式 $$\Gamma(z+1) = z \Gamma(z).$$ 借助于此，我们可以将其做延拓，注意到 $$\Gamma(z+n) = (z)_n \Gamma(z), \quad (z)_n = z(z+1)\cdots(z+n-1).$$ 于是有 $$\Gamma(z) = (z)_n \int_C \text{e}^{-t} t^{z+n-1} \mathrm{d}t.$$ 这样可以将其定义延拓到$\text{Re} z > - n$上去，但是在负整数处依然会出现问题，这里可以计算出留数 $${\underset {z=-n}{\operatorname {Res} }}\Gamma (z)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.$$

无穷乘积

令 $$P_n(z) = \int_C \left( 1 - \dfrac{t}{n} \right)^n t^{z-1} \mathrm{d}t.$$ 由控制收敛定理 $$\lim_{n \to \infty} P_n(z) = \Gamma(z).$$ 进一步可以得到 Euler 公式 $$\Gamma (z) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(n-1)! n^z}{z (z-1) \cdots (z+n-1)}.$$ 于是 $$\Gamma (z) = \dfrac{1}{z} \prod_{m=1}^\infty \left[ \left( 1 + \dfrac{z}{m} \right)^{-1} \left( 1 + \dfrac{1}{m} \right)^z \right].$$ 上述定义是 Euler 的无穷乘积定义，它可以在全复平面上除了负整数的点外给出 Γ 函数的定义。

此外注意到 $$n^z = \text{e}^{z \ln n} = \exp \left[ z \left( \ln n - \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \right) \right] \prod_{k=1}^n \text{e}^{\frac{z}{k}}.$$ 于是有 $$\dfrac{1}{\Gamma(z)} = z \text{e}^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left( 1 + \dfrac{z}{n} \right)\text{e}^{-\frac{z}{n}}.$$ 这个结果表明$\Gamma(z)$的极点都是一阶极点且没有零点，这一公式为 Weierstrass 引入的 Γ 函数之定义。

复积分

当$z$不为整数时 $$\Gamma(z) = - \dfrac{1}{2\text{i} \sin \pi z} \int_C \text{e}^{-t} (-t)^{z-1} \mathrm{d}t.$$ 其中周线$C$是从上半平面靠近正实轴的无穷远处出发，经过原点左侧向下，再回到下半平面靠近正实轴的无穷远处。

此外有如下更通用的积分式 $$\dfrac{1}{\Gamma(1-z)} = - \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \text{e}^{-t} (-t)^{z-1} \mathrm{d}t.$$

渐近展开

详见对数 Γ 函数。

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.