β 分布

$\beta$分布是在数理统计中常用的一种概率分布。

模型

设有连续型随机变量$X$，它的概率密度函数是 $$f(x) = \dfrac{1}{\Beta(p,q)} x^{p-1} (1-x)^{q-1}, \qquad x \in (0, 1)$$ 其中，$p, q > 0$是常数，$\Beta(p, q) = \dfrac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$是$\mathrm{B}$函数，我们就说随机变量$X$服从参数为$p,q$的$\beta$分布，显然它的规范性 $$\int_0^1 \dfrac{1}{\Beta(p,q)} x^{p-1} (1-x)^{q-1} \mathrm{d}x = 1.$$ $p = q = \dfrac{1}{2}$时是概率论中著名的反正弦分布： $$f(x) = \dfrac{1}{\pi\sqrt{x (1-x)}}, \qquad x \in (0, 1)$$

数字特征

$\beta$分布的数学期望为$\dfrac{p}{p+q}$，方差为$\dfrac{pq}{(p+q)^2 (p+q+1)}$。

导出

该分布可以由下述情形导出：设随机变量$X, Y$相互独立，且$X, Y$分别服从自由度为$p,q$的$\chi^2$分布，那么随机变量$Z = \dfrac{X}{X+Y}$就服从参数为$p,q$的$\beta$分布。

反正弦分布还可由下述场合导出：设标准正态随机变量$X, Y$相互独立，则$X^2 + Y^2$与$\dfrac{X^2}{X^2+Y^2}$相互独立，前者服从参数为$\dfrac{1}{2}$的指数分布，后者服从反正弦分布。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.