Характеристическая функция случайной величины

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Определение

Пусть есть случайная величина $X$ с распределением $\mathbb{P}^X$. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

$\phi_X(t) = \mathbb{E} \left[e^{itX}\right]$.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

$\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, \mathbb{P}^X(dx)$,

то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина $X$ принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, то её характеристическая функция имеет вид:

$\phi_{X}(t) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle t, X \rangle }\right],\; \forall t \in \mathcal{H}$,

где $\langle\cdot , \cdot\rangle$ обозначает скалярное произведение в $\mathcal{H}$.

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть $\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots$, то

$\phi_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{itx_i}\, p_i$.

Пример. Пусть $X$ имеет распределение Бернулли. Тогда

$\phi_X(t) = e^{it \cdot 1} \cdot p + e^{it \cdot 0} \cdot q = p e^{it} + q$.

Если случайная величина $X$ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность $f_X(x)$, то

$\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx$.

Пример. Пусть $X \sim U[0,1]$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

$\phi_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{itx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{itx}}{it}\right\vert_0^1 = \frac{e^{it}-1}{it}$.

Cвойства характеристических функций

• Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть $X, Y$ суть две случайные величины, и $\phi_X(t) = \phi_Y(t),\; \forall t$. Тогда $\mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y$. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
• Характеристическая функция всегда ограничена:

$|\phi_X(t)| \leq 1$.

• Характеристическая функция в нуле равна единице:

$\phi_X(0) = 1$.

• Характеристическая функция всегда непрерывна: $\phi_X \in C(\mathbb{R})$.
• Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

$\phi_{aX}(t) = \phi_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}$.

• Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть $X_1,\ldots ,X_n$ суть независимые случайные величины. Обозначим $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$. Тогда

$\phi_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n \phi_{X_i}(t)$.

Вычисление моментов

Если случайная величина $X$ имеет конечный $n$-ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную $n$-ю производную, то есть $\phi_X \in C^n(\mathbb{R})$, и более того:

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = -i^n \left. \frac{d^n}{dt^n}\phi_X(t)\right\vert_{t=0}$.

Формулы обращения

• Пусть дана случайная величина $X$, с функцией распределения $F _X$ и характеристической функцией $\phi_X$. Пусть даны две точки $a,b\in \mathbb{R}$ такие, что $a < b$ и $F _X$ в них непрерывна, то есть $F_X\in C\bigl(\{a,b\}\bigr).$ Тогда

$F_X(b) - F_X(a) = \frac{1}{2\pi} \lim\limits_{T \to \infty} \int\limits_{-T}^T \frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\, \phi_X(t)\, dt.$

• Если кроме того $X$ дискретна и принимает целые значения, то

$\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itk}\, \phi_X(t)\, dt, \; k \in \mathbb{Z}.$

• Если $\phi_X$ интегрируема на всей числовой прямой, то распределение случайной величины $X$ абсолютно непрерывно, и её плотность $f_X(x)$ имеет вид

$f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\, \phi_X(t)\, dt,\; x \in \mathbb{R}$.

См. также

• Теорема Леви о непрерывности (метод характеристических функций).

Эта статья содержит материал из статьи Характеристическая функция случайной величины русской Википедии.