Очевидно, что распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.
Вычисление вероятностей[]
Левый предел[]
По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке. В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.
Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
,
то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
.
Эта функция непрерывна в любой точке , такой что , и имеет разрыв, равный , в .
Непрерывные распределения[]
Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:
,
и
,
а следовательно формулы, приведённые выше, имеют вид:
,
где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.
Абсолютно непрерывные распределения[]
Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:
.
Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если , то , и
.
Многомерные функции распределения[]
Пусть фиксированное вероятностное пространство, и - случайный вектор. Тогда распределение является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .