Фундаментальная последовательность

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если её элементы становятся ближе друг к другу с увеличением номера.

Определения

• Пусть дано метрическое пространство $(X,\varrho )$, а $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },\;x_{n}\in X,\;n\in \mathbb {N}$ является последовательностью элементов $X$. Тогда $\{x_{n}\}$ называется фундаментальной или последовательностью Коши, если

$\forall \epsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall m,n\in \mathbb {N} \quad {\bigl (}m,n>N{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}\varrho (x_{m},x_{n}{\bigr )}<\epsilon {\bigr )}.$

Свойства

• Любая последовательность, имеющая предел, является фундаментальной.Критерий Коши для сходимости функциий : Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
• Если фундаментальная последовательность $\{x_{n}\}$ содержит сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_{k}}\}$, то она сама сходится.

Примеры

• Пусть дано пространство вещественных чисел $\mathbb {R}$ со стандартной метрикой $\varrho (x,y)=|x-y|,\;x,y\in \mathbb {R} .$ Тогда последовательность десятичных приближений числа ${\sqrt {2}}$

$1,1.4,1.41,1.414,\ldots$

является фундаментальной и сходящейся.

• Та же последовательность является фундаментальной, но не сходящейся в пространстве рациональных чисел $\mathbb {Q}$.
• Последовательность $x_{n}=(-1)^{n},\;n\in \mathbb {N}$ не является фундаментальной.

См. также

• Полное пространство;
• Предел последовательности.