Фундаментальная последовательность

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если её элементы становятся ближе друг к другу с увеличением номера.

Определения

• Пусть дано метрическое пространство $(X,\varrho)$, а $\{x_n\}_{n=1}^{\infty},\; x_n\in X,\;n\in \mathbb{N}$ является последовательностью элементов $X$. Тогда $\{ x_n \}$ называется фундаментальной или последовательностью Коши, если

$\forall \epsilon > 0\; \exists N\in \mathbb{N}\; \forall m,n\in \mathbb{N}\quad \bigl(m,n > N\bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho(x_m,x_n \bigr) < \epsilon \bigr).$

Свойства

• Любая последовательность, имеющая предел, является фундаментальной.Критерий Коши для сходимости функциий : Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
• Если фундаментальная последовательность $\{ x_n \}$ содержит сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$, то она сама сходится.

Примеры

• Пусть дано пространство вещественных чисел $\R$ со стандартной метрикой $\varrho(x,y) = |x-y|,\; x,y\in \mathbb{R}.$ Тогда последовательность десятичных приближений числа $\sqrt{2}$

$1,1.4,1.41,1.414,\ldots$

является фундаментальной и сходящейся.

• Та же последовательность является фундаментальной, но не сходящейся в пространстве рациональных чисел $\mathbb{Q}$.
• Последовательность $x_n = (-1)^n,\; n\in\mathbb{N}$ не является фундаментальной.

См. также

• Полное пространство;
• Предел последовательности.