Факториал

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

$n!=1\cdot 2\cdots n=\prod _{i=1}^{n}i$.

По определению полагают $0! = 1$. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Свойства

Комбинаторное определение

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

$n!=\Gamma(n+1)$

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для высления факториала:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}+O\left(n^{-4}\right)\right),$

см. O-большое. Числители и знаменатели коэффициентов разложения в степенной ряд см.
последовательность A001163 в OEIS
последовательность A001164 в OEIS

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

При этом можно утверждать, что

${\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}$

Разложение на простые числа

Каждое простое число $p$ входит в разложение $n!$ на простые в степени

$\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots$

Таким образом,

$n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots }$, где произведение берется по всем простым числам.

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех чётных (если n чётно) или нечётных (если n нечётно) натуральных чисел до n включительно. Таким образом,

$(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}k!$

$(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}2i+1={\frac {(2k+1)!}{2^{k}k!}}$

По определению полагают $0!!=1$.

Праймориал или примориал

Примориал (Шаблон:Lang-en) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

$11\#=12\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$

Первые 15 праймориалов: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

Суперфакториал

Суперфакториал числа n определяется как произведение факториалов всех целых чисел от 1 до n включительно.

Обратный факториал

Обратный факториал n!? числа n! определяется как частное факториала на все натуральные числа от 1 до n-1 включительно, т.е. n = n!?

Связь с инфолиофакториалом. Обратный факториал связан с инфолиофакториалом, который для любого нецелого положительного числа отличается от Гамма-функции и позволяет определить дробную часть обратного факториала от произвольного положительного целочисленного аргумента путем решения соответствующего квадратного уравнения.

Таким образом, инфолиофакториал, как и Гамма-функция Г(х) может рассматриватьcя как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Субфакториал

Субфакториал $!n\!$ определяется как количество перестановок множества из $\!n$ различных элементов, что ни один элемент не попадает на своё место.

См. также

• Факторион
• Примеры реализации функции факториал

]