Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Определение

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ - фиксированное вероятностное пространство. Пусть $A,B \in \mathcal{F}$ суть два случайных события, причём $\mathbb{P}(B)>0$. Тогда условной вероятностью события $A$ при условии события $B$ называется

$\mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}$.

Замечания

• Прямо из определения очевидно следует, что

$\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A\mid B)\mathbb {P} (B)$.

• Если $\mathbb {P} (B)=0$, то условная вероятность, строго говоря, не определена. Тем не менее иногда уславливаются считать её в этом случае равной нулю.
• Условная вероятность является вероятностью, т.е. функция $\mathbb {Q} :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$, заданная формулой

$\mathbb {Q} (A)=\mathbb {P} (A\mid B),\;\forall A\in {\mathcal {F}}$,

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Пример

Если $A, B$ - несовместимые события, т.е. $A \cap B = \varnothing$ и $\mathbb {P} (A)>0,\;\mathbb {P} (B)>0$, то

$\mathbb {P} (A\mid B)=0$

и

$\mathbb {P} (B\mid A)=0$.

См. также

• Независимость;
• Условное математическое ожидание;
• Формула полной вероятности;
• Теорема Байеса.

Эта статья содержит материал из статьи Условная вероятность русской Википедии.