Тригонометрическая формула Виета

Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения $x^3 + a x^2 + bx + c = 0$

Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического применения:

Формула

• Вычисляем $Q = {\frac {a^{2}-3b}{9}}, R = {\frac {2a^{3}-9ab+27c}{54}}$
• Вычисляем $S=Q^{3}-R^{2}$
• Если $S > 0$, то вычисляем $\phi = \frac{\arccos(\frac{R}{\sqrt{Q^3}})}{3}$ и имеем три действительных корня:

$x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}$

$x_2=-2\sqrt{Q}\cos(\phi+\frac{2}{3}\pi)-\frac{a}{3}$

$x_3=-2\sqrt{Q}\cos(\phi-\frac{2}{3}\pi)-\frac{a}{3}$

• Если $S < 0$, то заменяем тригонометрический косинус гиперболическим:

$\phi = \frac{\mathop{\mathrm{Arch}}|\frac{R}{\sqrt{|Q^3|}}|}{3}$

$T = \mathop{\mathrm{sign}}(R) \sqrt{|Q|} \mathop{\mathrm{ch}}(\phi)$

$x_1=-2T-\frac{a}{3}$ (действительный корень)

$x_{2,3}=T-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \mathop{\mathrm{sh}}(\phi)$ (пара комплексных корней)

• Если $S = 0$, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

$T = \mathop{\mathrm{sign}}(R) \sqrt{|Q|}$

$x_1=-2T-\frac{a}{3}$

$x_2=T-\frac{a}{3}$