Точная верхняя и нижняя грань

Точная верхняя и нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества.

Определения

Пусть дано хер частично упорядоченное множество $(X,\le)$ и его подмножество $M\subset X.$ Тогда элемент $s \in X$ называется точной верхней гранью или супре́мумом $M$, если он является наименьшей верхней гранью $M,$ то есть

• $\forall x\in M\quad x\leq s;$
• $\forall s'\in X\quad {\bigl (}\forall x\in M\quad x\leq s'{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}s\leq s'{\bigr )}.$

Аналогично элемент $i\in X$ называется точной нижней гранью или инфимумом $M$, если он является наибольшей нижней гранью $M,$ то есть

• $\forall x\in M\quad i\leq x;$
• $\forall i'\in X\quad {\bigl (}\forall x\in M\quad i'\leq x{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}i'\leq i{\bigr )}.$

Пишут:

• $s=\sup M;$
• $i=\inf M.$

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежат ли $\sup M$ и $\inf M$ множеству $M$ или нет. Если $s\in M,$ то говорят, что $s$ является наибольшим элементом или максимумом $M.$ Если $i\in M,$ то говорят, что $i$ является наименьшим элементом или минимумом $M.$

Примеры

• На множестве всех действительных чисел больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. $\inf$ такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого подмножества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества $S=\left\{{\frac {1}{k}}|k\in {\mathbb {N}}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right\}$

$\sup S=1$; $\inf S=0$.

• Множество положительных действительных чисел ${\mathbb {R}}_{+}=\{x|x>0\}$ не имеет точной верхней грани в $\Bbb{R}$, точная нижняя грань $\inf {\mathbb {R}}_{+}=0$.
• Множество $X=\{x\in {\mathbb {Q}}|x^{2}<2\}$ рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в $\Bbb Q$, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

$\sup X={\sqrt {2}}$ и $\inf X=-{\sqrt {2}}$.

Свойства

• Для любого ограниченного сверху подмножества $\R$, существует $\sup$.
• Для любого ограниченного снизу подмножества $\R$, существует $\inf$.
• Вешественное число $s$, является $\sup X$ тогда и только тогда
• $s$ есть верхняя грань $X$ т.е. для всех элементов $x \in X$, $x\geqslant s$.
• для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $x \in X$, такой, что $x+\varepsilon >s)$ (т.е. к $s$ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества $X$)
• Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.