Математика
Advertisement

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell.

Определение

Категория C — это:

  • класс объектов ObC;
  • для каждой пары объектов A, B задано множество морфизмов (или стрелок) Homs (A, B), причём каждому морфизму соответствуют единственные A и B;

Малая категория

Основная статья: Категория малых категорий

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория C, в которой Obc является множеством и Hom(C) (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

  • Setкатегория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
  • Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
  • VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
  • Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

  • Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
  • Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда xy (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
  • Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм.

Двойственность

Для категории C можно определить двойственную категорию COP , в которой:

  • объекты совпадают с объектами исходной категории;
  • морфизмы получаются «обращением стрелок»

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Advertisement