Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell.
Определение[]
Категория C — это:
- класс объектов ObC;
- для каждой пары объектов A, B задано множество морфизмов (или стрелок) Homs (A, B), причём каждому морфизму соответствуют единственные A и B;
Малая категория[]
Основная статья: Категория малых категорий
Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория C, в которой Obc является множеством и Hom(C) (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.
Примеры категорий[]
- Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
- Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
- VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
- Категория модулей.
Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.
- Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
- Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
- Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.
Коммутативные диаграммы[]
Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм.
Двойственность[]
Для категории C можно определить двойственную категорию COP , в которой:
- объекты совпадают с объектами исходной категории;
- морфизмы получаются «обращением стрелок»
Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).