Гомеоморфизм

Не следует путать с термином «гомоморфизм».

Файл:Mug and Torus morph.gif

Классический пример гомеоморфизма: кружка и пончик топологически эквивалентны

Гомеоморфи́зм (Шаблон:Lang-el — похожий, Шаблон:Lang-el2 — форма) в топологии — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{T}_X)$ и $(Y,\mathcal{T}_Y)$ — два топологических пространства. Функция $f: X \to Y$ называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также $f$ и $f^{-1}$ непрерывны.

Пространства $X$ и $Y$ в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть $|a,b|\subset \mathbb{R}$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R$ — биекция. Тогда $f$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ строго монотонна и непрерывна на $|a,b|.$

Пример

Произвольный открытый интервал $(a,b) \subset \mathbb{R}$ гомеоморфен всей числовой прямой $\R$. Гомеоморфизм $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ задаётся, например, формулой

$f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).$

См. также

• Словарь терминов общей топологии

ar:دالة هميومورفية ca:Homeomorfisme cs:Homeomorfismus da:Homeomorfi he:הומיאומורפיזם ka:ჰომეომორფიზმი lt:Homeomorfizmas nl:Homeomorfisme pl:Homeomorfizm sl:Homeomorfizem sr:Хомеоморфизам sv:Homeomorfi ta:இடவியல் உருமாற்றம் vi:Phép đồng phôi