Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка[]

Пусть даны два пространства с мерами $(X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2$ . Обозначим $(X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2)$ их произведение. Пусть функция $f: X_1 \times X_2 \to \mathbb{R}$ интегрируема относительно меры $\mu_1 \otimes \mu_2$ . Тогда

функция $x_1 \to \int\limits_{X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)$ определена и интегрируема относительно $\mu_1$ ;
функция $x_2 \to \int\limits_{X_1} f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)$ определена и интегрируема относительно $\mu_2$ ;
имеют место равенства

\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_1}\left[\;\int\limits_{X_2}f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)\right] \mu_1(dx_1)

и

\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_2}\left[\;\int\limits_{X_1}f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)\right] \mu_2(dx_2)

.

Частные случаи[]

Теория вероятностей[]

Пусть $(\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\,i=1,2$ - вероятностные пространства, и $X:\Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R}$ - случайная величина на $(\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2)$ . Тогда

\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2}[X] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right]

,

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ[]

Пусть $f : D = [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}$ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $[a, b]\times [c, d]$ , то есть $f \in {R}(D)$ . Тогда