Теорема Радона — Никодима

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Формулировка

Пусть $(X, \mathcal{F}, \mu)$ - пространство с мерой и мера $\mu$ σ-конечна. Тогда если мера $\nu: \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ $(\nu \ll \mu)$, то существует измеримая функция $f: X \to \R$, такая что

$\nu(A) = \int\limits_{A} f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F}$,

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Замечание

Теорема справедлива и для знакопеременных мер (зарядов) и для комплекснозначных мер.

Производная Радона — Никодима

Функция $f$, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется произво́дной Радо́на — Нико́дима меры $\nu$ относительно меры $\mu$. Пишут:

$f = \frac{d\nu}{d \mu}$.

Если $(X,\mathcal{F}) = \left(\mathbb{R}^k,\mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\right)$ - $k$-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, $\nu = \mathbb{P}^{X}$ - распределение некоторой случайной величины $X$, а $\mu = m$ - мера Лебега на $\mathbb{R}^k$, то производная Радона — Никодима меры $\mathbb{P}^X$ относительно меры $m$ называется плотностью распределения случайной величины $X$.

Свойства

• Пусть $\lambda, \mu, \nu$ - σ-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве $(X, \mathcal{F})$. Тогда если $\mu \ll \lambda$ и $\nu \ll \lambda$, то

$\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}$.

• Пусть $\nu \ll \mu \ll \lambda$. Тогда

$\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}$ $\lambda$-почти всюду.

• Пусть $\mu \ll \lambda$ и $g:X \to \mathbb{R}$ - измеримая функция, интегрируемая относительно меры $\mu$, то

$\int\limits_X g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X g(x)\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx)$.

• Пусть $\mu \ll \nu$ и $\nu\ll \mu$. Тогда

$\frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}$.

Пусть $\nu$ - конечная знакопеременная или комплексная мера. Тогда

${d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|$.

См. также

• Никодим, Отто;
• Радон, Йоган.

pl:Twierdzenie Radona-Nikodyma