Теорема Пифагора

Теорема Пифагора— одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Доказательство

Известно, что существует около 350 доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство, основанное на теореме существования площади фигуры:

Пошаговая иллюстрация доказательства

1. Расположим четыре прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
2. Четырехугольник со сторонами с является квадратом, так как сумма двух острых углов $90^{\circ }$, а развернутый угол — $180^{\circ }$.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны - сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

$(a+b)^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+c^{2};$

$a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2};{\frac {}{}}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2};{\frac {}{}}$

Что и требовалось доказать.

Обобщения

В случае ортогональной системы векторов $\{v_{k}\}{\frac {}{}}$ имеет место равенство, также называемое теоремой Пифагора:

$\sum _{k=1}^{n}\|v_{k}\|^{2}=\left\|\sum _{k=1}^{n}v_{k}\right\|^{2}.$

Если $\{v_{k}\}{\frac {}{}}$ — это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида — и означает, что длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы вектров носит название равенства Парсеваля.

См. также

• Пифагорова тройка
• Пифагоровы штаны
• Великая теорема 

Ссылки

• Некоторые доказательства теоремы Пифагора
• Теорема Пифагора на WolframMathWorld (английский)

Эта статья содержит материал из статьи Теорема Пифагора русской Википедии.