Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка

Пусть фиксировано пространство с мерой $(X, \mathcal{F}, \mu)$. Предположим, что $\{ f_n \}_{n=1}^\infty$ и $f$ - интегрируемые функции на $X$, причём $f_n(x) \to f(x)$ п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция $g$, такая что $\forall n \in \mathbb{N}\quad |f_n(x)| \leq g(x)$ п.в., то функции $f_n, f$ интегрируемы и

$\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mu(dx).$

Замечание

Условие мажорированности последовательности $\{ f_n \}$ интегрируемой функцией $f$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть $(X,\mathcal{F},\mu) = ([0,1],\mathcal{B},m)$, где $\mathcal{B}$ - борелевская σ-алгебра на $[0,1]$, а $m$ - мера Лебега на том же пространстве. Определим

$f_n(x) = \left\{ \begin{matrix} n, & x \in \left[0,\frac{1}{n}\right) \\[10pt] 0, & x \in \left[\frac{1}{n},1\right] \end{matrix} \right..$

Тогда последовательность $\{ f_n \}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

$\int\limits_0^1\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).$

Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\Omega$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случаных величин: $X_n \to X$ п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина $Y$, такая что $\forall n \in \mathbb{N}\quad |X_n| \leq Y$ п.н. Тогда случайные величины $X_n,X$ интегрируемы и

$\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n = \mathbb{E} X$.

Эта статья содержит материал из статьи Теорема Лебега о мажорируемой сходимости русской Википедии.