Теорема Лагранжа (теория групп)

В теории групп теорема Лагра́нжа гласит:

Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности. Теорема Лагранжа (теория групп)/рамка Следствия Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы $H$ в $G$ одинаково и называется индексом подгруппы $H$ в $G$ (обозначается $[G:H]$). Порядок любой подгруппы конечной группы $G$ делит порядок $G$. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы $G$ делит порядок $G$. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел. Группа порядка $p$, где $p$ — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок $p$, и значит, каждый из них порождает группу.) История Фактически, эта теорема была доказана Лагранжем в 1771 году. в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Точнее, он доказал теорему о многочленах, a не о конечных группах. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример. См. также Теоремы Силова Теорема Лагранжа cs:Lagrangeova věta he:משפט לגראנז' (תורת החבורות) pl:Twierdzenie Lagrange'a (teoria grup) sr:Лагранжова теорема (теорија група)