Теорема Лагранжа о среднем значении

Приращение

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что угол касательной к графику функции, дифференцируемой на отрезке, хотя бы в одной точке равен углу секущей, соединяющей концы этого графика.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке $f\in C\bigl([a,b]\bigr)$, и для любого $x\in(a,b)$ существует конечная или бесконечная производная $f'(x)$. Тогда

$\exists c\in (a,b)\quad f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Следствие

Функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри него с ограниченной производной, удовлетворяет условию Липшица. Более точно пусть $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}\cap {\mathcal {D}}{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ и $\forall x\in (a,b)\quad |f'(x)|\leq L.$ Тогда

$\forall x_{1},x_{2}\in [a,b]\quad {\bigl |}f(x_{1})-f(x_{2}){\bigr |}\leq L\cdot |x_{1}-x_{2}|$.

Обобщение

• Теорема Коши о среднем значении.